Integrais triplas

Olá, estou com uma dificuldade em entender a resolução da questão 2e), Seção 5.4 do Volume 3 do Guidorizzi (6ed). 
Pergunta-se:
Calcule o volume do conjunto dado
x²+y²≤4 e x²+y²+z²≤9 

Consegui montar a integral até "ρ(√(9-ρ²))", integrando em dz primeiro e depois transformando em coordenadas polares. Mas não entendo por que nesse ponto preciso multiplicar a equação por 2 para chegar no resultado correto. Na questão g) tive a mesma dificuldade. Obrigada pela atenção!

Depende muito de como você quer resolver. Esse tipo de questão você pode fazer com integral simples (isto é, com cálculo 1 apenas), com integral dupla ou tripla, usando coordenadas cartesianas ou cilindricas ou esféricas. Estou assumindo que você está armando o problema como uma integral dupla e a resolvendo com coordenadas polares, mas se não for o caso, avise.


A região dada está dentro de um cilindro de raio 2 e de uma esfera de raio 3. Você pode imaginá-la por exemplo como um cilindro cujo topo e cuja base são "arredondados".

Podemos dividir tal sólido em duas partes: a que está acima do plano xy e a que se encontra abaixo. Pela simetria, ambas as partes possuem o mesmo volume. Para calcular o volume de uma delas, digamos a que está acima, podemos tratá-lo como o volume da região que está abaixo do gráfico da função \(f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}\)

Ou seja, o volume inteiro do sólido é dado por

\( \displaystyle V = 2 \iint_D \sqrt{9-x^2 - y^2} dA\)

onde D é a região do plano dada por \(x^2 + y^2 \leq 4\). Em coordenadas polares podemos escrever:

\(\displaystyle V = 2 \int_0^{2 \pi}\int_0^2 \sqrt{9-\rho^2} \rho  \,d\rho d\theta\)

Se foi isso que você fez, o "2" que está faltando é justamente porque a integral calculada corresponde ao volume apenas da parte superior do sólido.

Entendii, então eu estava calculando só metade do volume do conjunto! Muito obrigada pela paciência e atenção de trazer uma resposta tão detalhada 

Por nada, bons estudos!