Cáculo 2 , Integrais Triplas
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Cáculo 2 , Integrais Triplas
por Omagodasexatas3,14 Sex 05 Jun 2020, 20:20
Calcule 
para 
e 
\(0,0,0).
Eu não tenho a resposta deste exrcício, eu resolvi ele e cheguei no resultado de
.
Gostaria de saber se está correto, Pois estou com dúvida no limite de integração para r, não tenho certeza se ele vai de 0 até R mesmo.
Eu não tenho a resposta deste exrcício, eu resolvi ele e cheguei no resultado de
Gostaria de saber se está correto, Pois estou com dúvida no limite de integração para r, não tenho certeza se ele vai de 0 até R mesmo.
Omagodasexatas3,14- Recebeu o sabre de luz
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Re: Cáculo 2 , Integrais Triplas
por mauk03 Seg 22 Jun 2020, 20:25
Usando coordenadas esféricas (interpretando o espaço ℝ³ como uma esfera de raio infinito):
![gif.latex?\int&space;\int&space;\int&space;_{\Omega&space;}\frac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dxdydz=\int_{0}^{\infty&space;}\int_{0}^{2\pi&space;}\int_{0}^{\pi&space;}\frac{e^{-r^2}}{r}r^2\sin\varphi&space;d\varphi&space;d\theta&space;dr=\int_{0}^{\infty&space;}\int_{0}^{2\pi&space;}\left&space;[&space;-\cos\varphi&space;\right&space;]_{0}^{\pi&space;}re^{-r^2}d\theta&space;dr](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint&space;%5Cint&space;%5Cint&space;_%7B%5COmega&space;%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-(x%5E2+y%5E2+z%5E2)%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2+z%5E2%7D%7Ddxdydz=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi&space;%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi&space;%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-r%5E2%7D%7D%7Br%7Dr%5E2%5Csin%5Cvarphi&space;d%5Cvarphi&space;d%5Ctheta&space;dr=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi&space;%7D%5Cleft&space;%5B&space;-%5Ccos%5Cvarphi&space;%5Cright&space;%5D_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi&space;%7Dre%5E%7B-r%5E2%7Dd%5Ctheta&space;dr "\int \int \int _{\Omega }\frac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dxdydz=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\frac{e^{-r^2}}{r}r^2\sin\varphi d\varphi d\theta dr=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{2\pi }\left [ -\cos\varphi \right ]_{0}^{\pi }re^{-r^2}d\theta dr")
![gif.latex?=2\int_{0}^{\infty&space;}\int_{0}^{2\pi&space;}re^{-r^2}&space;d\theta&space;dr=\int_{0}^{\infty&space;}\left&space;[&space;\theta&space;\right&space;]_{0}^{2\pi&space;}&space;re^{-r^2}&space;dr=4\pi&space;\int_{0}^{\infty&space;}re^{-r^2}&space;dr](https://latex.codecogs.com/gif.latex?=2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi&space;%7Dre%5E%7B-r%5E2%7D&space;d%5Ctheta&space;dr=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D%5Cleft&space;%5B&space;%5Ctheta&space;%5Cright&space;%5D_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi&space;%7D&space;re%5E%7B-r%5E2%7D&space;dr=4%5Cpi&space;%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dre%5E%7B-r%5E2%7D&space;dr "=2\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{2\pi }re^{-r^2} d\theta dr=\int_{0}^{\infty }\left [ \theta \right ]_{0}^{2\pi } re^{-r^2} dr=4\pi \int_{0}^{\infty }re^{-r^2} dr")
Fazendo u=r², tem-se du=2rdr, u→∞ para r→∞ e u→0 para r→0. Assim:
![gif.latex?\int_{0}^{\infty&space;}re^{-r^2}&space;dr=\int_{0}^{\infty&space;}\frac{e^{-u}}{2}&space;du=\left&space;[&space;-\frac{e^{-u}}{2}&space;\right&space;]_{0}^{\infty&space;}=\frac{1}{2}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dre%5E%7B-r%5E2%7D&space;dr=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-u%7D%7D%7B2%7D&space;du=%5Cleft&space;%5B&space;-%5Cfrac%7Be%5E%7B-u%7D%7D%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5D_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D "\int_{0}^{\infty }re^{-r^2} dr=\int_{0}^{\infty }\frac{e^{-u}}{2} du=\left [ -\frac{e^{-u}}{2} \right ]_{0}^{\infty }=\frac{1}{2}")
Logo:
dV=4%5Cpi&space;%5Ccdot&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D=2%5Cpi "\int \int \int _{\Omega }f(x,y,z)dV=4\pi \cdot \frac{1}{2}=2\pi")
Fazendo u=r², tem-se du=2rdr, u→∞ para r→∞ e u→0 para r→0. Assim:
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