Desigualdade entre as médias
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Desigualdade entre as médias
por manoelf Qua 17 maio 2023, 07:27
Sejam x e y números reais tais que x+y=1. Mostre que (1+1/x)(1+1/y) maior ou igual a 9.
manoelf- Iniciante
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manoelf e Luan, o Rocha gostam desta mensagem
Re: Desigualdade entre as médias
por Luan, o Rocha Seg 20 maio 2024, 20:20
[latex]\mathrm{M.A.\geq M.H.}[/latex]
Consideremos os números [latex]1, 1[/latex] e [latex]\frac{y}{x}[/latex]:
[latex]\frac{1+1+\frac{y}{x}}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{x}{y}}\Leftrightarrow \frac{1+\frac{x+y}{x}}{3}\geq \frac{3}{1+\frac{y+x}{y}}\Leftrightarrow \frac{1+\frac{1}{x}}{3}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{y}} \Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\geq 9[/latex]
Consideremos os números [latex]1, 1[/latex] e [latex]\frac{y}{x}[/latex]:
[latex]\frac{1+1+\frac{y}{x}}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{x}{y}}\Leftrightarrow \frac{1+\frac{x+y}{x}}{3}\geq \frac{3}{1+\frac{y+x}{y}}\Leftrightarrow \frac{1+\frac{1}{x}}{3}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{y}} \Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\geq 9[/latex]
Luan, o Rocha- Iniciante
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