polinômios

(escola naval -05/06) Para que o resto da divisão do polinômio P(x)= 8m^3x^4 + 12mx^3 + 1 por Q(x)=4x + 2 seja maior que zero, deve-se ter: 
a) -3 < m < -2
b) m > 1
c) m> 2
d) m < 1 0u m > 2 
e) m < 2

gab: C

Na verdade, essa questão foi anulada.
O resto da divisão de P(x) por Q(x) é um polinômio de grau 0, r(x) = r, uma constante, porque o grau de Q é 1, logo de r é no máximo 0 e daí a certeza.
Vale P(x) = q(x)(4x+2) + r. Fazendo x = -1/2 -> P(-1/2) = q(x)(-4/2 + 2) + r = r.
P(-1/2) = 8m³/16 - 12m/8 + 1 = r <=> m³/2 - 3m/4 + 1 = r
Não sei bem o que eles esperavam, mas bastaria fazer m³/2 - 3m/4 + 1 > 0. É de se notar que há raiz negativa, (-2)³/2 - 3(-2)/4 + 1 = -1.5 e (-1)³/2 - 3(-1)/4 + 1 = 1.25 -> claramente não é simplesmente m > 2. Não vou provar que essa raiz negativa é a única possível nesse polinômio cúbico, mas deixo registrado que a resposta é na verdade este treco:
[latex]m > -\dfrac{\sqrt[3]{4-\sqrt{14}}}{\sqrt[3]{4}} - \dfrac{1}{\sqrt[3]{8-2\sqrt{14}}}[/latex]