Porcentagem

Enem 2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

A) 3 doses. 
B) 4 doses. 
C) 6 doses. 
D) 8 doses. 
E) 10 doses. 

1 dose = 10% de chances de ter riscos, logo, 90% de não ter riscos com 1 dose.

3 doses = 90%*90%*90% = 72,9% de chances de NÃO ter riscos com 3 doses

1ª dúvida: Porque precisa-se multiplicar as porcentagens? E porque não poderia ser com 10% (chances de ter riscos) nesse cálculo?

Continuando: 100% - 72,9% = Porcentagem de chances de ter riscos = 27,1%

4 doses) 72,9% * 90% = 65,61% de chances de não ter riscos com 4 doses. Logo, 99,99% - 65,61% = porcentagem de chances de ter riscos = 34,38%. Logo, podem ser ministrados até 4 doses.

Outra forma de fazer (2ª dúvida: Está correto fazer dessa forma?): 27,1%/3 = 9,033% = porcentagem de riscos por dose.

9,033% * x (quantidade de doses para gerar até35% de riscos) = 35% --> x ≈ 3,8 doses. Logo, só podem ser ministrados até 3 doses.

Consideremos um jogo de cara ou coroa. Você decide quantas vezes eu devo lançar a moeda. Nos lançamentos em que cair cara (K), você ganha 100 reais, no que cair coroa (C), você leva porrada. Se você decide que eu lance por 5 vezes a moeda, qual a chance de não levar porrada?
É claro que a resposta pra isso é: que só caiam caras, 5 as vezes. Uma coisa importante: a moeda não tem qualquer memória dos lançamentos pregressos, de sorte que a probabilidade de caírem 5 caras seguidas é o produto individual das probabilidades da cada cara => P(ileso) = (1/2)^5.
Outra pergunta muito parecida é: lançadas 5 vezes, qual o risco que você está tomando? Ou seja, P(pelo menos uma porrada). Pra que isso aconteça, deve sair C ao menos uma vez, então não deve não sair C => P(risco) = 1 - P(ileso).
Da mesma forma, o corpo do paciente não tem memória dos efeitos colaterais sofridos, então a chance de sair ileso de n doses é P(ileso) = (90%)^n => P(risco) = 1 - (90%)^n. É aceitável até 35%:
1 - (90%)^n <= 35% <=>
65% <= (90%)^n
0.65 <= 0.9^n
log0.9(0.65) >= n (porque 0.9 < 1)
Essa é a solução de quem tem calculadora. Claro que no braço faríamos 9 -> 81 -> 729 -> 6521, e aí vem a resposta: no máximo 4 doses.

Lipo_f escreveu:Consideremos um jogo de cara ou coroa. Você decide quantas vezes eu devo lançar a moeda. Nos lançamentos em que cair cara (K), você ganha 100 reais, no que cair coroa (C), você leva porrada. Se você decide que eu lance por 5 vezes a moeda, qual a chance de não levar porrada?
É claro que a resposta pra isso é: que só caiam caras, 5 as vezes. Uma coisa importante: a moeda não tem qualquer memória dos lançamentos pregressos, de sorte que a probabilidade de caírem 5 caras seguidas é o produto individual das probabilidades da cada cara => P(ileso) = (1/2)^5.
Outra pergunta muito parecida é: lançadas 5 vezes, qual o risco que você está tomando? Ou seja, P(pelo menos uma porrada). Pra que isso aconteça, deve sair C ao menos uma vez, então não deve não sair C => P(risco) = 1 - P(ileso).
Da mesma forma, o corpo do paciente não tem memória dos efeitos colaterais sofridos, então a chance de sair ileso de n doses é P(ileso) = (90%)^n => P(risco) = 1 - (90%)^n. É aceitável até 35%:
1 - (90%)^n <= 35% <=>
65% <= (90%)^n
0.65 <= 0.9^n
log0.9(0.65) >= n (porque 0.9 < 1)
Essa é a solução de quem tem calculadora. Claro que no braço faríamos 9 -> 81 -> 729 -> 6521, e aí vem a resposta: no máximo 4 doses.

Não entendi como isso responde minhas dúvidas   

Gostaria de saber se meus raciocínios estão errados e porque.

Responde porque, de um lado, na primeira dúvida, devo multiplicar as porcentagens porque são essas as probabilidades e são todos eventos independentes de tal forma que P(risco) = 1 - P(ileso) = 1 - (90%)^n. E, por outro lado, não faz o menor sentido dividir a probabilidade de risco em 3 doses pra achar um "risco por dose", porque esse valor simplesmente não é fixo. As suas contas me revelam isso:
0 doses - 0%
1 dose - 10% (+10%)
2 doses - 19% (+9%)
3 doses - 27.1% (+8.1%)
4 doses - 34.39% (+7.29%)
Essa diferença entre os riscos somente tende a diminuir até zero. Assim, a segunda solução não tem qualquer amparo matemático, mas a primeira é corretíssima.

Lipo_f escreveu:Responde porque, de um lado, na primeira dúvida, devo multiplicar as porcentagens porque são essas as probabilidades e são todos eventos independentes de tal forma que P(risco) = 1 - P(ileso) = 1 - (90%)^n. E, por outro lado, não faz o menor sentido dividir a probabilidade de risco em 3 doses pra achar um "risco por dose", porque esse valor simplesmente não é fixo. As suas contas me revelam isso:
0 doses - 0%
1 dose - 10% (+10%)
2 doses - 19% (+9%)
3 doses - 27.1% (+8.1%)
4 doses - 34.39% (+7.29%)
Essa diferença entre os riscos somente tende a diminuir até zero. Assim, a segunda solução não tem qualquer amparo matemático, mas a primeira é corretíssima.

Agora eu entendi! Obrigada.