Área da região sombreada

por guuigo Qua 18 Set 2024, 14:54

Na figura abaixo há um quadrado e quatro semicírculos de raio 1 centímetro. Cada arco de semicírculo passa pelo centro do quadrado e por um de seus vértices. Os arcos não possuem região interna comum
Área da região sombreada G+syEUWdzUQ8wAAAABJRU5ErkJggg==

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A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é
(A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 2√2. (E) 4√2

Gabarito:

por **Elcioschin** Qua 18 Set 2024, 17:19

Um modo seria usar GA:

Seja O(0, 0) o centro do quadrado, A(-2, 0), B(0, 2), C(2, 0) e D(0, -2) os vértices do quadrado.

Analisando no 1º quadrante, onde E é o ponto de encontro da reta BC om a semi-circunferência OEC e P e o centro dela;

OP = PC = 1 ---> OC = 2 ---> OB = 2 ---> BC = 2.√2

Equação da reta BC ---> y = - x + 2 ---> I
Equação da semicircunerência: (x - 1)² + (y - 0)² = 1² ---> II

I em II ---> calcule xE = 1, yE = 1 ---> E(1, 1)

A área sombreada EC é a diferença entre o setor de 90º PEC menos a área do triângulo retângulo PEC

E assim por diante. Tente completar.

por guuigo Qua 18 Set 2024, 18:56

Elcioschin escreveu:Um modo seria usar GA:

Seja O(0, 0) o centro do quadrado, A(-2, 0), B(0, 2), C(2, 0) e D(0, -2) os vértices do quadrado.

Analisando no 1º quadrante, onde E é o ponto de encontro da reta BC om a semi-circunferência OEC e P e o centro dela;

OP = PC = 1 ---> OC = 2 ---> OB = 2 ---> BC = 2.√2

Equação da reta BC ---> y = - x + 2 ---> I
Equação da semicircunerência: (x - 1)² + (y - 0)² = 1² ---> II

I em II ---> calcule xE = 1, yE = 1 ---> E(1, 1)

A área sombreada EC é a diferença entre o setor de 90º PEC menos a área do triângulo retângulo PEC

E assim por diante. Tente completar.

Por GA fica mais simples mesmo. Laughing