Área da região sombreada

Na figura, ABCD é um paralelogramo de área S e M é o ponto médio de CD. Qual é a área da região sombreada em função de S?

a) 12S

b)3/4S

c)1/6S

d)1/12S

1) Perceba que a área S pode ser dividida em duas áreas S/2, sendo que uma delas é a área do triângulo BCD. (Área BCD = S/2).
2) Trace BD.
3) Note que os triângulos BCD e BCM têm a mesma altura, mas a base de BCM (CM) é metade da base de BCD (CD), portanto a área de BCM é metade da área de BCD. (Área BCM = S/4).
4) Em BD marque o ponto médio N.
5) Note que N é o ponto de encontro de BD e AC, pois as diagonais se cortam no ponto médio.
6) Note que BN = DN, portanto CN é mediana do triângulo BCD.
7) Note que DM = CM, portanto BM é mediana do triângulo BCD.
8.) Sabemos que as medianas se cruzam no baricêntro (que para o triângulo BCD é o ponto E), e dividem-se na proporção de 2:1. Portanto BE = 2 EM.
9) Note que os triângulos ECM e BCM têm a mesma altura, mas a base de ECM (EM) é um terço da base de BCM (BM), logo, a área de ECM é um terço da área de BCM.

Área ECM = S/12.