Área da região sombreada

A figura foi feita com quatro quadrados de 10cm de lado. Os vértices A, B e C são também centros dos quadrados correspondentes. Qual é a área da região sombreada?



a) 150cm²

b) 275cm²

c) 325cm²

d) 100cm²

e) 225cm²

Individualmente todos os quadrados tem mesma área.
área de um quadrado ------> A = 10² = 100 cm²

O quadrado X tem sua área íntegra.
O quadrado Y perde 1/4 da sua área porque é coberto por X num ângulo de 90° a partir do seu centro.
Analogamente, também os quadrados Z e T perdem 1/4 da respectiva área.
Portanto no total X, Y e Z perdem 3/4 de A, ou seja, perdem 75 cm²

Se não houvessem perdas, a superfície total seria ------> S = 4.A = 400 cm²
Descontando-se as perdas, ficamos com
S = 400 - 75 = 325 cm²

Guih escreveu:A figura foi feita com quatro quadrados de 10cm de lado. Os vértices A, B e C são também centros dos quadrados correspondentes. Qual é a área da região sombreada?



a) 150cm²

b) 275cm²

c) 325cm²

d) 100cm²

e) 225cm²

Para demonstrar o fato de que as áreas superpostas têm área igual a um quarto da área destes quadrados, como o colega Medeiros bem pontuou, basta traçarmos segmentos que revelem os contornos ocultos dos quadrados e que dividamos cada quadrado em 4 partes iguais; observamos, então, o seguinte: que as áreas superpostas superiores se compõem de duas áreas adjacentes, a de um triângulo retângulo e a de um trapézio retângulo.

Logo, traçando um segmento paralelo a um lado do quadrado e que diste tanto quanto a base menor do trapézio retângulo da sua altura, observaremos que, por paralelismo e pelo caso de congruência de triângulos L.A.Ao. (Lado, ângulo e ângulo oposto) a área superposta desses é igual a um quarto da área daqueles quadrados em todos os casos, como queríamos demonstrar.