Iezzi 3 volumes progressões exercicio 35

Uma sequência de 5 números inteiros é tal que:

- os extremos são iguais a 4;
- os três primeiros termos estão em progressão geometrica e os três últimos em progressão aritmética;
- a soma desses cinco números é igual a 26.

É correto afirmar que a soma dos números em progressão geométrica é igual a:

a) -8
b) -2
c) 8
d) 12
e) 16

Gabarito: d)

Minha resolução:

A sequência pode ser escrita do enunciado como:

(4, 4q, 4q², y, 4)

Do enunciado Temos:

4+4q+4q²+y+4 = 26
4q+4q²+y = 26-8
y = 18-4q-4q² (I)

Do enunciado tbm temos que:

y-4q² = 4-y
2y = 4+4q²
y = 2+2q² (II)

Igualando I e II Temos:

2+2q²= 18-4q-4q²
6q²+4q-16 = 0

q = 4/3 ou q = -2

Substituindo 4/3 em II Temos:

y = 2+2*(4/3)²
y = 2+2*16/9
y = 2+32/9
y = 50/9

Substituindo q=4/3 em a2 e a3, temos:

a2 = 4*4/3
a2 = 16/3

a3 = 4*(4/3)²
a3 = 4*16/9
a3 = 64/9

A sequência é definida por:

(4, 16/3, 64/9, 50/9, 4)

A soma dos 3 primeiros termos é dada por:

4+16/3+64/9 = 148/9 nenhuma alternativa corresponde

Substituindo -2 em II, temos:

y = 2+2*(-2)²
y = 2+2*4
y = 10

Substituindo q = -2 em A2 e a3 temos:

a2 = 4*(-2) = -8
a3 = 4*(-2)² = 16

E a sequência formada é:

(4,-8,16,10,4)

Soma dos 3 primeiros termos é:

4-8+16 = 12 alternativa d)

Gostaria de saber se eu errei alguma parte e se o valor que encontrei está correto, pois o exercício não mencionou nenhuma restrição para o q e o valor dos tres primeiros termos sendo 148/9 pra mim tá certo tbm.

De fato, tudo começa com (4, 4q, 4q², y, 4), devendo 2y = 4q² + 4 => y = 2q² + 2
=> 4 + 4q + 4q² + y + 4 = 4 + 4q + 4q² + 2q² + 2 + 4 = 10 + 4q + 6q² = 26 -> q = 4/3  ou q = -2.
A questão é: por que não posso usar q = 4/3? E a resposta é mais desapontadora do que se espera. Está na primeiríssima linha do enunciado: "Uma sequência de 5 números inteiros é tal que:"! E infelizmente 4 . 4/3 = 16/3 não é inteiro. Assim, a única solução é para q = -2 => (4, -8, 16, 10, 4) -> s = 4 - 8 + 16 = 12.

Lipo_f escreveu:De fato, tudo começa com (4, 4q, 4q², y, 4), devendo 2y = 4q² + 4 => y = 2q² + 2
=> 4 + 4q + 4q² + y + 4 = 4 + 4q + 4q² + 2q² + 2 + 4 = 10 + 4q + 6q² = 26 -> q = 4/3  ou q = -2.
A questão é: por que não posso usar q = 4/3? E a resposta é mais desapontadora do que se espera. Está na primeiríssima linha do enunciado: "Uma sequência de 5 números inteiros é tal que:"! E infelizmente 4 . 4/3 = 16/3 não é inteiro. Assim, a única solução é para q = -2 => (4, -8, 16, 10, 4) -> s = 4 - 8 + 16 = 12.

Verdade! Obrigado!