Iezzi 3 volumes progressões exercício 37

por brunoriboli Qui 12 Set 2024, 15:45

Os coeficientes a, b, c da equação de 2º grau ax² + bx + c = 0 são, nessa ordem, termos de uma P.A. de razão 2.
a) Mostre que essa equação admite raízes reais para exatamente 4 valores inteiros de b determinando-os.

Gabarito: 0, 1, -1, -2

por r4f4 Qui 12 Set 2024, 16:41

PA (b-2, b, b+2)

∆ = b²-4ac
∆ = b²-4*(b-2)(b+2)
∆ = b²-4*(b²-4)
∆ = b²-4b²+16 = 16 - 3b²

Já que devem ser raízes reais, temos que o discriminante deve ser maior ou igual a 0.
∆≥0
16-3b²≥0
16≥3b²
(-4√3)/3 ≤ b ≤ (4√3)/3
Valores possíveis de b, sabendo que o módulo de (4√3/3) é aprox. 2,3
b = -2, b= -1, b=0, b=1, b=2

b=2 é impossível, já que se colocarmos b=2 na PA, temos a = 0 (o que torna a equação uma de primeiro grau.)

Logo, os valores possíveis de b são -2, -1, 0 e 1.

por brunoriboli Qui 12 Set 2024, 17:21

r4f4 escreveu:PA (b-2, b, b+2)

∆ = b²-4ac
∆ = b²-4*(b-2)(b+2)
∆ = b²-4*(b²-4)
∆ = b²-4b²+16 = 16 - 3b²

Já que devem ser raízes reais, temos que o discriminante deve ser maior ou igual a 0.
∆≥0
16-3b²≥0
16≥3b²
(-4√3)/3 ≤ b ≤ (4√3)/3
Valores possíveis de b, sabendo que o módulo de (4√3/3) é aprox. 2,3
b = -2, b= -1, b=0, b=1, b=2

b=2 é impossível, já que se colocarmos b=2 na PA, temos a = 0 (o que torna a equação uma de primeiro grau.)

Logo, os valores possíveis de b são -2, -1, 0 e 1.

Muito obrigado.

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