Iezzi 3 volumes progressões exercício 22

por brunoriboli Qua 11 Set 2024, 18:17

a) Numa progressão geométrica de termos positivos, o primeiro termo é cinco vezes a razão, e a diferença entre o segundo termo e o primeiro vale 30. Calcule a soma dos três primeiros termos.

Gabarito: 195

por Lipo_f Qua 11 Set 2024, 18:20

Seja P: (a1, a2, a3, ...), de razão q.
a1 = 5q
a2 - a1 = 30 = a1(q - 1) = 5q(q-1) = 30 => q(q-1) = 6, logo q = 3 ou q = -2 (só a primeira convém)
Assim, a1 + a2 + a3 = a1(1 + q + q²) = 5q(1 + q + q²) = 15(1 + 3 + 9) = 195.

por brunoriboli Qua 11 Set 2024, 18:30

Lipo_f escreveu:Seja P: (a1, a2, a3, ...), de razão q.
a1 = 5q
a2 - a1 = 30 = a1(q - 1) = 5q(q-1) = 30 => q(q-1) = 6, logo q = 3 ou q = -2 (só a primeira convém)
Assim, a1 + a2 + a3 = a1(1 + q + q²) = 5q(1 + q + q²) = 15(1 + 3 + 9) = 195.

Da onde surgiram esses q-1

por matheus_feb Qua 11 Set 2024, 19:35

brunoriboli escreveu:a) Numa progressão geométrica de termos positivos, o primeiro termo é cinco vezes a razão, e a diferença entre o segundo termo e o primeiro vale 30. Calcule a soma dos três primeiros termos.

Gabarito: 195

Um método talvez mais mais intuitivo:

A₁= 5q
A₂ - A₁= 30

Sabe-se que → A_n= A₁. q^n-1
Logo, A₂= 5q . q^2-1→ A₂= 5q²

A₂= 30 + 5q
5q²= 30 + 5q
5q²- 5q - 30 = 0

Calculando a equação de segundo grau, encontramos raíz positiva para q = 3. Finalizando:

S_n= A₁. (qⁿ-1) / q - 1
S₃= 15 . (3³-1) / 3-1
S₃= 15 . 26 / 2 = 195