Iezzi 3 volumes progressões exercício 23

Em uma PG, a soma do 3º com o 4º termo é -24 e a soma do 4º com o 5º termo vale 48. Determine:

a) a razão da PG.
b) a soma de seus quatro primeiros termos.

Gabarito: a) -2
b) -30

a3 + a4 = -24
a4 + a5 = 48

Escrevendo genericamente os termos, temos

a3 = a1 * q²
a4 = a1 * q³
a5 = a1 * q⁴

Substituindo, temos que:


I) a1 * q² + a1 * q³ = -24
II) a1 * q³ + a1 * q⁴= 48

Podemos agora tirar a1*q² em evidência nas duas equações, chegando em

(a1*q²)(1+q) = -24
(a1*q²)(q+q²) = 48

Dividindo II) por I), temos

(q+q²)/(1+q) = -2

q²+q = -2 -2q
q² + 3q +2 = 0

Por soma e produto, temos q = -2 e q = -1.

Contudo, q ser igual a -1 não faz sentido nesse caso, já que resultaria em

a1*(-1)² + a1*(-1)³ = -24
a1 - a1 = -24
0 = -24

Impossível! Logo q = -2.

Sabendo disso, podemos substituir o q nas generalizações feitas anteriormente.

a3 = 4a1
a4 = -8a1
a5 = 16a1

4a1 - 8a1 = -24
-4a1 = -24
a1 = 6

Se a1 =6, temos a2 = -12, a3 = 24 e a4 = -48

a1+a2+a3+a4 = 6-12+24-48
S₄ = -6 -24
S₄ = -30

r4f4 escreveu:a3 + a4 = -24
a4 + a5 = 48

Escrevendo genericamente os termos, temos

a3 = a1 * q²
a4 = a1 * q³
a5 = a1 * q⁴

Substituindo, temos que:


I) a1 * q² + a1 * q³ = -24
II) a1 * q³ + a1 * q⁴= 48

Podemos agora tirar a1*q² em evidência nas duas equações, chegando em

(a1*q²)(1+q) = -24
(a1*q²)(q+q²) = 48

Dividindo II) por I), temos

(q+q²)/(1+q) = -2

q²+q = -2 -2q
q² + 3q +2 = 0

Por soma e produto, temos q = -2 e q = -1.

Contudo, q ser igual a -1 não faz sentido nesse caso, já que resultaria em

a1*(-1)² + a1*(-1)³ = -24
a1 - a1 = -24
0 = -24

Impossível! Logo q = -2.

Sabendo disso, podemos substituir o q nas generalizações feitas anteriormente.

a3 = 4a1
a4 = -8a1
a5 = 16a1

4a1 - 8a1 = -24
-4a1 = -24
a1 = 6

Se a1 =6, temos a2 = -12, a3 = 24 e a4 = -48

a1+a2+a3+a4 = 6-12+24-48
S₄ = -6 -24
S₄ = -30

Obrigado.