Iezzi 3 volumes progressões exercício 11

Um ancião pediu a um matemático que o ajudasse a resolver o seguinte problema de herança: A quantia de 1800 U.M. (Unidades Monetárias) deveria ser dividida entre seus quatro filhos, de modo que as quantias distribuídas estivessem em P.A. e fossem proporcionais às idades dos filhos. O ancião, porém, esqueceu as idades de dois de seus filhos, lembrando apenas que o menor tem 6 anos e o maior, 66 anos.
Como será dividida a herança? Determine também a idade dos outros dois filhos.

Gabarito: 6 anos: 75 UM
26 anos: 325 UM
46 anos: 575 UM
66 anos: 825 UM

Olhando o gabarito parece que é só fazer uma interpolação entre 6 e 66 mas essa garante a PA na idade o exercício queria saber a PA na herança que seria dividida. Então sempre quando uma sequência está em PA sua divisão diretamente proporcional para determinado valor tbm estarão sempre em PA?

As quantias são A, B, C, D tais que A + B + C + D = 1800
Por um lado, digo que:
B = A + r
C = A + 2r
D = A + 3r,
já que estão em PA.
Por outro lado,
A/iA = B/iB = C/iC = D/iD = cte
=> A/iA = D/iD <=> A/6 = (A + 3r)/66 => 11A = A + 3r => A = 3r/10.
Daí, A + B + C + D = 4A + 6r = 36r/5 = 1800 => r = 250
=> A = 3(250)/10 = 75
B = 75 + 250 = 325
C = 75 + 500 = 575
D = 75 + 750 = 825
Por fim, as idades. Basta fazer A/iA = B/iB = C/iC <=> 75/6 = 325/iB = 575/iC <=> 1/2 = 13/iB = 23/iC => iB = 26 e iC = 46.

"É pura coincidência que as idades estejam em PA?"
Não! rsrs
Deve k = A/iA = X/iX, X um irmão qualquer
Da propriedade das razões, k = (X-A)/(iX - iA)
Sei que X = A + nr (n = 1, 2, ...) => X - A = nr => iX - iA = nr/k, logo iX = iA + n(r/k), então iX faz parte de uma PA junto de iA com razão (r/k) e de fato faz, porque k = A/iA = 75/6 = 25/2, com r = 250 => r/k = 250/(25/2) = 20.