Iezzi 3 volumes progressões exercício 52

Considere a figura onde estão sobrepostos os quadrados OX₁Z₁Y₁, OX₂Z₂Y₂, OX₃Z₃Y₃,
OX₄Z₄Y₄
,...,OX_nZ_nY_n,...,n => 1, formados por pequenos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam A_n e P_n a área e o perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado.



a) Mostre que a sequência (P₁, P₂, ..., P_n...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em função de n, e sua razão.
b) Considere a sequência (B₁, B₂, ..., B_n...) definida por B_n = A_n / P_n. Calcule B₁, B₂ e B₃. Calcule, também,
a soma dos 40 primeiros termos dessa sequência,
isto é, B₁ + B₂ + ... + B₄₀

Eu fiquei com dúvida só em uma parte, como eu mostro pro corretor que eu descobri que An = n²?

(a) P1 = 1.4, P2 = 2.4, P3 = 3.4 
para o caso de k segmentos, teremos k cm em x, e k em y formando um quadrado com lados k
logo, Pk = k+k+k+k = 4.(k)

logo, os temos formam uma progressão aritmétrica de razão igual a 4

onde o termo geral será 
Pn = P0 + (n-1).r ---> Pn = 4 + (n-1).4 ---> Pn = 4n

(b) Os lados do quadrado estão em PA, aumentam progressivamente na razão igual a 1
logo, os lados serão Ln = L0 + (n-1).r, onde r = 1
Ln = L0 + (n-1), L0 = 1
Ln = n

com o decorrer do processo de progressão vai se formando quadrados, onde a sua área será dada para o quadrado n:

An = Ln.Ln = n^2

Bn = n^2/4n ---> como n é diferente de zero, pois garante que n >= 1

Bn = n/4, o que é outra progressão aritmetrica

B1 = 1/4 B2 = 2/4 = 1/2 B3 = 3/4

A soma de n termos de uma progressão aritmétrica será:

S40 = (b1+b40).n/2
S40 = (1/4 + 40/4).40/2
S40 = (41/4).40/2
S40 = (41/4).20 = 41.5 = 205

eu faria a resolução nessa linha ai, em questões abertas eu sempre escrevi muito, várias e várias verdades, para garantir para o corretor que eu sabia do conteúdo e sempre deu certo
sempre mandei muito bem nas questões abertas, colocando condições de resolução como n>= 1, problemas que inviabilizam a resolução, o que eu estou adotando.
É sempre muito importante ser bem claro

dá até pra complementar na letra (a) quando eu conclui que Pk = 4.(k) e fazer
Pk = 4.(k-1+1) ---> Pk = 4.(k-1)+4 ---> Pk = 4 + (k-1).4 (termo geral de uma progressão aritmética)

Matheus Tsilva escreveu:(a) P1 = 1.4, P2 = 2.4, P3 = 3.4 
para o caso de k segmentos, teremos k cm em x, e k em y formando um quadrado com lados k
logo, Pk = k+k+k+k = 4.(k)

logo, os temos formam uma progressão aritmétrica de razão igual a 4

onde o termo geral será 
Pn = P0 + (n-1).r ---> Pn = 4 + (n-1).4 ---> Pn = 4n

(b) Os lados do quadrado estão em PA, aumentam progressivamente na razão igual a 1
logo, os lados serão Ln = L0 + (n-1).r, onde r = 1
Ln = L0 + (n-1), L0 = 1
Ln = n

com o decorrer do processo de progressão vai se formando quadrados, onde a sua área será dada para o quadrado n:

An = Ln.Ln = n^2

Bn = n^2/4n ---> como n é diferente de zero, pois garante que n >= 1

Bn = n/4, o que é outra progressão aritmetrica

B1 = 1/4 B2 = 2/4 = 1/2 B3 = 3/4

A soma de n termos de uma progressão aritmétrica será:

S40 = (b1+b40).n/2
S40 = (1/4 + 40/4).40/2
S40 = (41/4).40/2
S40 = (41/4).20 = 41.5 = 205

eu faria a resolução nessa linha ai, em questões abertas eu sempre escrevi muito, várias e várias verdades, para garantir para o corretor que eu sabia do conteúdo e sempre deu certo
sempre mandei muito bem nas questões abertas, colocando condições de resolução como n>= 1, problemas que inviabilizam a resolução, o que eu estou adotando.
É sempre muito importante ser bem claro

Obrigado!