Iezzi 3 volumes progressões exercício 47

A figura abaixo representa uma sequência de quadrados {Q1, Q2, Q3, ...}, sendo que o lado de Q, mede 10 cm, os vértices de Q2 são os pontos médios dos lados de Q1, os vértices de Q3, são os pontos médios dos lados de Q2, e assim sucessivamente. Calcule a soma das áreas dos quadrados: A(Q1) + A(Q2) + ... + A(Q2006).

Gabarito: 200*(1-(1/2)²⁰⁰⁶) cm²

Não tem figura, mas dá pra resolver assim. Seja L(n) o lado do quadrado n. O Q(n+1) é formado ligando pontos médios, então L(n+1) = L(n)√2/2. Seja S(n) a área de Q(n) => S(n+1) = S(n)/2.
Assim:
S(n) = S(n-1)/2
S(n-1) = S(n-2)/2
...
S(3) = S(2)/2
S(2) = S(1)/2
Multiplica todo mundo: S(n)S(n-1)...S(3)S(2) = S(n-1)S(n-2)...S(3)S(2)S(1)/2^(n-1) => S(n) = S(1)/2^(n-1)
Daí, k = S(1) + S(2) + ... + S(2006) => k/2 = S(1)/2 + S(2)/2 + ... + S(2005)/2 + S(2006)/2 = S(2) + S(3) + ... + S(2006) + S(2007)
=> k - k/2 = k/2 = S(1) - S(2007)
Logo, k = 2S(1) - S(2006) = 2S(1) - S(1)/2^2005 = 2S(1)[1 - (1/2)^2006]. Por fim, S(1) = 100cm², então: k = 200[1 - (1/2)^2006]cm².