Iezzi 3 volumes progressões exercício 36

Considera-se um segmento de reta, N₀, de tamanho R₀ = 1. Ele é dividido em três partes iguais, e a parte do meio é substituída por dois segmentos de tamanho R₁ = 1/3 na forma de um triângulo equilátero, resultando em N₁ = 4 segmentos de reta. Repetindo-se este procedimento para todos os segmentos de reta, obtêm-se N₂ = 16 e R₂ = 1/9 como apresentado nas figuras.



Quais são os valores que se obtêm para N₃ e R₃? Após n repetições desse processo, qual será o comprimento R_n dos segmentos de reta e quantos segmentos de reta N_n existirão?

Gabarito: N₃ = 64, R₃ = 1/27; (1/3)^n-1 e 4^n-1

Eu tô com dúvida mais no valor de Rn e N, pois para N0 e R0 esses valores não vão corresponder a 1. O certo na minha visão seria 1/3^n e 4^n

brunoriboli escreveu:Considera-se um segmento de reta, N₀, de tamanho R₀ = 1. Ele é dividido em três partes iguais, e a parte do meio é substituída por dois segmentos de tamanho R₁ = 1/3 na forma de um triângulo equilátero, resultando em N₁ = 4 segmentos de reta. Repetindo-se este procedimento para todos os segmentos de reta, obtêm-se N₂ = 16 e R₂ = 1/9 como apresentado nas figuras.



Quais são os valores que se obtêm para N₃ e R₃? Após n repetições desse processo, qual será o comprimento R_n dos segmentos de reta e quantos segmentos de reta N_n existirão?

Gabarito: N₃ = 64, R₃ = 1/27; (1/3)^n-1 e 4^n-1

Eu tô com dúvida mais no valor de Rn e N, pois para N0 e R0 esses valores não vão corresponder a 1. O certo na minha visão seria 1/3^n e 4^n

Basta utilizar a fórmula de termos genéricos e aplicar individualmente para R_n e N_n genéricos:

A_n = A₁ . q^n-1

O motivo para ''n-1'' está no próprio conceito de progressões. O termo de ordem ''n'' sempre é acrescido do primeiro termo + ''n-1'' vezes acrescido da razão, pois não deve ser considerado o primeiro termo - uma vez que ele é o início da progressão e não está acrescido da razão. O mesmo ocorre para progressões aritméticas. Por exemplo, suponha a equação geral da seguinte P.A para determinação do terceiro termo:

(1,4,7,10,13,16...)

A_n = A₁ + (n-1).R
A₃ = A_{1 +} (3-1).R
  A₃ = A₁ + 2R

Como pode ver, acontece o mesmo que notamos acima. A ordem ''n'' de um termo deve ser sempre decrescido de uma unidade, correspondente ao primeiro termo.

matheus_feb escreveu:

brunoriboli escreveu:Considera-se um segmento de reta, N₀, de tamanho R₀ = 1. Ele é dividido em três partes iguais, e a parte do meio é substituída por dois segmentos de tamanho R₁ = 1/3 na forma de um triângulo equilátero, resultando em N₁ = 4 segmentos de reta. Repetindo-se este procedimento para todos os segmentos de reta, obtêm-se N₂ = 16 e R₂ = 1/9 como apresentado nas figuras.



Quais são os valores que se obtêm para N₃ e R₃? Após n repetições desse processo, qual será o comprimento R_n dos segmentos de reta e quantos segmentos de reta N_n existirão?

Gabarito: N₃ = 64, R₃ = 1/27; (1/3)^n-1 e 4^n-1

Eu tô com dúvida mais no valor de Rn e N, pois para N0 e R0 esses valores não vão corresponder a 1. O certo na minha visão seria 1/3^n e 4^n

Basta utilizar a fórmula de termos genéricos e aplicar individualmente para R_n e N_n genéricos:

A_n = A₁ . q^n-1

O motivo para ''n-1'' está no próprio conceito de progressões. O termo de ordem ''n'' sempre é acrescido do primeiro termo + ''n-1'' vezes acrescido da razão, pois não deve ser considerado o primeiro termo - uma vez que ele é o início da progressão e não está acrescido da razão. O mesmo ocorre para progressões aritméticas. Por exemplo, suponha a equação geral da seguinte P.A para determinação do terceiro termo:

(1,4,7,10,13,16...)

A_n = A₁ + (n-1).R
A₃ = A_{1 +} (3-1).R
  A₃ = A₁ + 2R

Como pode ver, acontece o mesmo que notamos acima. A ordem ''n'' de um termo deve ser sempre decrescido de uma unidade, correspondente ao primeiro termo.

Mas para N0 eu encontraria N0 = 1* 4^0-1 = 1*4^-1 = 1* 1/4 = 1/4. Deu errado pq N0 = 1

brunoriboli escreveu:

matheus_feb escreveu:

brunoriboli escreveu:Considera-se um segmento de reta, N₀, de tamanho R₀ = 1. Ele é dividido em três partes iguais, e a parte do meio é substituída por dois segmentos de tamanho R₁ = 1/3 na forma de um triângulo equilátero, resultando em N₁ = 4 segmentos de reta. Repetindo-se este procedimento para todos os segmentos de reta, obtêm-se N₂ = 16 e R₂ = 1/9 como apresentado nas figuras.



Quais são os valores que se obtêm para N₃ e R₃? Após n repetições desse processo, qual será o comprimento R_n dos segmentos de reta e quantos segmentos de reta N_n existirão?

Gabarito: N₃ = 64, R₃ = 1/27; (1/3)^n-1 e 4^n-1

Eu tô com dúvida mais no valor de Rn e N, pois para N0 e R0 esses valores não vão corresponder a 1. O certo na minha visão seria 1/3^n e 4^n

Basta utilizar a fórmula de termos genéricos e aplicar individualmente para R_n e N_n genéricos:

A_n = A₁ . q^n-1

O motivo para ''n-1'' está no próprio conceito de progressões. O termo de ordem ''n'' sempre é acrescido do primeiro termo + ''n-1'' vezes acrescido da razão, pois não deve ser considerado o primeiro termo - uma vez que ele é o início da progressão e não está acrescido da razão. O mesmo ocorre para progressões aritméticas. Por exemplo, suponha a equação geral da seguinte P.A para determinação do terceiro termo:

(1,4,7,10,13,16...)

A_n = A₁ + (n-1).R
A₃ = A_{1 +} (3-1).R
  A₃ = A₁ + 2R

Como pode ver, acontece o mesmo que notamos acima. A ordem ''n'' de um termo deve ser sempre decrescido de uma unidade, correspondente ao primeiro termo.

Mas para N0 eu encontraria N0 = 1* 4^0-1 = 1*4^-1 = 1* 1/4 = 1/4. Deu errado pq N0 = 1

Na verdade N0 é o primeiro termo, portanto, a igualdade é feita. Bastava pensar que não faria sentido existir um termo zero.