Iezzi 3 volumes complementos sobre funções ex testes 23

Sejam f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ duas funções cujos gráficos estão esboçados abaixo:



Definindo h: ℝ → ℝ por h(x) = f(x) -g(x), é correto afirmar que:

a) (f o h)(4) = g^-1 (4)
b) a função h nunca se anula
c) (f o h)(0) = (g o h)(0)
d) h é crescente no intervalo ]-∞, 2]

Gabarito: c)

Gostaria de saber minha resolução está certa, pois é a primeira vez que faço exercício com função composta e com condicional juntas:

a) i) f(x) = {4, se x < 2
                 {ax+b, se x >= 2

ii) f(x) = ax+b

iii) 4=a*2+b
4=2a+b
b=4-2a (I)

iv) 0=4a+b
b= -4ac (II)

v) igualando I e II Temos:

4-2a = -4a
2a=-4
a = -4/2
a= -2

vi) substituindo a em II Temos:

b= -4*-2
b= 8

vii) f(x) ={ 4, se x < 2
              {-2x+8, se x >= 2

viii) g(x) = ax+b

ix) 2=a*0+b
b= 2

x) 6= a*4+b
6=4a+2
4a = 4
a = 1

xi) g(x) = x+2

xii) h(x) = f(x) - g(x)
h(x) = { 4-x-2, se x < 2
          {-2x+8-x-2, se x >= 2

h(x) = {-x+2, se x < 2
          {-3x+6, se x >= 2

xiii) f(h(4)) = -2*h(4)+8
f(h(4)) = -2*(-3*4+6)+8
f(h(4)) = -2*(-12+6)+8
f(h(4)) = -2*(-6)+8
f(h(4)) = 12+8
f(h(4)) = 20

xiv) g(x) = x+2
x= g(x) -2

g^-1 (x) = x-2

xv) g^-1 (4) = 4-2
g^-1 (4) = 2

xvi) foh(4) diferente de g^-1(4) . Falsa

b) i) para x < 2:

-x+2 = 0
-x = -2
x = 2 não vale

ii) para x >= 2

-3x+6 = 0
-3x=-6
x = 2 vale. letra b falsa

c) i) f(h(0)) = -2*h(0)+8
f(h(0)) = -2*(-0+2)+8
f(h(0)) = -4+8
f(h(0)) = 4

ii) g(h(0)) = h(0)+2
g(h(0)) = -0+2+2
g(h(0)) = 4

Letra c, verdadeiro.

D) para o intervalo ]-∞, 2]
É decrescente para o intervalo ]-∞, 2[ pois a condição é -x+2. E crescente para x=2. Coloquei falsa.

Gostaria de saber se meu h(x) está correto principalmente.

tudo certo, as considerações e etc

so atentar pelo seguinte, é uma questão objetiva, se for pra um vestibular que necessita de tempo, é bom estar bem treinado para fazer cada vez mais rápido

mas para uma questão aberta ta muito bom

a velocidade ganha com a resolução de questões e ver outras pessoas resolvendo 

abss

Matheus Tsilva escreveu:tudo certo, as considerações e etc

so atentar pelo seguinte, é uma questão objetiva, se for pra um vestibular que necessita de tempo, é bom estar bem treinado para fazer cada vez mais rápido

mas para uma questão aberta ta muito bom

a velocidade ganha com a resolução de questões e ver outras pessoas resolvendo 

abss

Obrigado.

um modo mais rápido.



Levantamos a curva de h(x). Dá para fazer simplesmente olhando o gráfico dado, mas seguem alguns pontos chave.
h(x) = f(x) - g(x)
h(a) = 4 - 0 = 4
h(0) = 4 - 2 = 2
h(2) = 4 - 4 = 0
h(4) = 0 - 6 = -6

E vamos para as alternativas.

a)
f(h(4)) = f(-6) = 4 , pois f(x) é contínua e f(x) = 4 para x≤2.
g^-1(4) = 6^-1 = 1/6
são diferentes, portanto FALSO

b)
h(2) = 0  ---> portanto a função se anula em x=2  --->  FALSO

c)
f(h(0)) = f(2) = 4
g(h(0) = g(2) = 4
são iguais, portanto VERDADE

d)
h(x) é sempre decrescente, basta olhar o gráfico --->  FALSO
porém uma forma de dizer que a função é sempre decrescente é que para qualquer que seja x temos h(x+k) < h(x).