Questão

por rafael foquis Dom 15 Set 2024, 11:18

Dado um círculo de raio unitário, qual é o perímetro máximo do triangulo inscrito.

por **Medeiros** Dom 15 Set 2024, 12:16

Dado um círculo de raio R, o maior triângulo que pode ser inscrito nele é o equilátero - maior área e perímetro.

O lado do triângulo equilátero inscrito é R√3. Portanto o primeiro máximo para R=1 é 3√3.

por rafael foquis Dom 15 Set 2024, 12:47

Boa tarde, como você chegou a conclusão que era um triangulo equilátero? Também cheguei em 3 raiz de 3, depois de fazer a pergunta, mas foi por desigualdade trigonométrica. Enfim, eu posso assumir assim que é um equilátero mesmo?

por **Giovana Martins** Dom 15 Set 2024, 13:21

Uma ideia a partir da Desigualdade de Jensen: sejam α, β e γ os ângulos do triângulo ABC qualquer.

Pelo Lei dos Cossenos no triângulo OAB:

\[\mathrm{\ell _1^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos(2\alpha )=2[1-cos(2\alpha )]=4sin^{2}\left ( \alpha \right )\ \therefore\ \ell _1=2sin\left ( \alpha \right )}\]

Analogamente para os triângulos OBC e OAC, tem-se, respectivamente:

\[\mathrm{\ell _2^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos(2\gamma )=2[1-cos(2\gamma )]=4sin^{2}\left ( \gamma \right )\ \therefore\ \ell _2=2sin\left ( \gamma \right )}\]

\[\mathrm{\ell _3^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos(2\beta )=2[1-cos(2\beta )]=4sin^{2}\left ( \beta \right )\ \therefore\ \ell _3=2sin\left ( \beta \right )}\]

Note que α + β + γ = 180° tal que {α, β, γ} ∈ (0, 180°). Neste intervalo a função f(x) = sin(x) é côncava. Neste caso, vale a Desigualdade de Jensen, que nos leva a:

\[\mathrm{\frac{sin(\alpha )+sin(\beta )+sin(\gamma )}{3}\leq sin\left ( \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \therefore\ sin(\alpha )+sin(\beta )+sin(\gamma )\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}}\]

Note que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell _2+\ell _3\leq 3\sqrt{3} \to 2p\leq 3\sqrt{3}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{2p_{max}=3\sqrt{3}}} }\]

por **Giovana Martins** Dom 15 Set 2024, 13:28

Não sei se foi assim que o Medeiros pensou, mas um corolário da Desigualdade de Jensen é que a situação na qual o perímetro é máximo ocorre quando α = β = γ. Sendo α + β + γ = 180°, logo, α = β = γ = 60°, o que corresponde a um triângulo equilátero.

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