EFOMM 2017 - Permutações

por Victor Luz Sex 23 Fev 2018, 11:38

Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?

a)3/31

b)1/36

c)1/24

d)1/12

e)1/6

gabarito:

Senhores, boa tarde.

Ao tentar resolver esse problema, fiz do seguinte maneira.

Para os casos favoráveis, decidi calcular a probabilidade de que todos os conterrâneos fiquem juntos e subtrair da probabilidade total. Porém, não consegui fazer dessa forma, alguém sabe me dizer por que não é possível resolver esse exercício desse modo?

Se sim, poderiam postar a resolução?

Obrigado.

por evandronunes Sex 23 Fev 2018, 13:27

A forma como você fez deixa muitos casos de fora, por isso não bateu com a resposta.

Uma possível solução seria nomear as pessoas: P1, P2, P3, C1, C2 e A.

O espaço amostral seria 6! = 720.

Vamos verificar as possibilidades de encaixe dos paranaenses na fila.

1º: P1, ___, P2, ___, P3, ___

Temos que os paranaenses podem permutar entre si, logo 3!. As outras pessoas podem ser encaixadas nos espaços em branco sem nenhuma restrição, ou seja, 3!. Portanto, o número de maneiras para esse caso será 3!.3! = 36.

2º: P1, ___, P2, ___, ___, P3

Os paranaenses permutam entre si, então 3!. Para o alagoano só existe a possibilidade dele ficar entre P2 e P3, isto é 2 maneiras. Para os cariocas restarão duas possibilidades. Portanto, o número de maneiras para esse caso será 3!.2.2 = 24.

3º: P1, ___, ___, P2, ___, P3

Veja que esse caso é análogo ao anterior, logo 24 possibilidades também.

4º: ___, P1, ___, P2, ___, P3

Esse caso é análogo ao 1º, portanto 36 maneiras.

Desse modo temos o total 36 + 24 + 24 + 36 = 120.

Assim, a probabilidade pedida será \frac{120}{720}=\frac{1}{6}.

por Jvictors021 Dom 12 Fev 2023, 21:39

Evandro, não consigo entender o porquê desses casos terem ficado de fora...
Poderiam me explicar ?

por **Elcioschin** Dom 12 Fev 2023, 23:45

Veja de outro modo

P1 _ P2 _ P3 _ ---> 3!.3! = 36
_ P1 P2 _ P3 _ ---> 3!.3! = 36

P1 C1 A P2 C2 P3 ---> 3! = 6
P1 A C1 P2 C2 P3 ---> 3! = 6
P1 C2 A P2 C1 P3 ---> 3! = 6
P1 A C2 P2 C1 P3 ---> 3! = 6 ---> total = 24

P1 C1 P2 C2 A P3 ---> 3! = 6
P1 C1 P2 C2 P3 A ---> 3! = 6
P1 C2 P2 C1 A P3 ---> 3! = 6
P1 C2 P2 C2 P3 A ---> 3! = 6 ---> total = 24

Total geral aceita = 36 + 36 + 24 + 24 = 120

Total geral = 6! = 720

p = 120/720 ---> p = 1/6