Comparação numérica

por **Giovana Martins** Sáb 14 Set 2024, 09:44

Segue uma questão interessante para quem quiser tentar.

Desafio: qual é o maior?

\[\sqrt{101}+\sqrt{103} \]

\[\sqrt{99}+\sqrt{105} \]

por Lipo_f Sáb 14 Set 2024, 11:50

Uma forma que eu gosto de fazer sempre que preciso comparar dois números, um com raiz quadrada, é simplesmente elevar ao quadrado.
Suponho √101 + √103 > √99 + √105 > 0. Se isso for verdade, o quadrado dos lados também segue essa mesma ordem: 101 + 103 + 2√101.103 > 99 + 105 + 2√99.105 <=> 204 + 2√101.103 > 204 + 2√99.105 <=> √101.103 > √99.105 > 0. E, de novo, isso é verdade só se 101 . 103 > 99 . 105 <=> 10403 > 10395, que é verdadeiro, então meu primeiro chute é também verdade, isto é, √101 + √103 é o maior dos dois.

por **Giovana Martins** Sáb 14 Set 2024, 21:39

Muito obrigada, Lipo Smile

!

Uma outra abordagem a partir de uma ideia semelhante a deste outro post que eu fiz há um bom tempo: comparação entre números (clique aqui).

Note que podemos escrever os números abaixo de forma genérica, qual seja:

\[\mathrm{f(n)=\sqrt{n}+\sqrt{204-n}}\]

\[ \mathrm{\frac{df(n)}{dn}=\frac{d}{dn}\left ( \sqrt{n}+\sqrt{204-n} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{204-n}} \right )}\]

\[ \mathrm{\frac{df(n)}{dn}=0\ \therefore\ \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{204-n}} \right )=0\ \therefore\ n=102}\]

Do critério da primeira derivada, f(x) é crescente para x < 102. Assim, f(n = 101) > f(n = 99), o que acarreta:

\[ \mathrm{\sqrt{101}+\sqrt{204-101}>\sqrt{99}+\sqrt{204-99}\ \therefore\ \sqrt{101}+\sqrt{103}>\sqrt{99}+\sqrt{105}}\]