Soluição da equação do quarto grau

Resolver uma equação do quarto grau de forma completa envolve vários passos complexos, mas aqui está uma abordagem geral usando a fórmula de Ferrari, com um exemplo detalhado.

### Resolução da Equação do Quarto Grau

Considere a equação do quarto grau:

\[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \]

**Passo 1: Reduzir a equação para a forma \( x^4 + px^2 + qx + r = 0 \)**

Para simplificar, primeiro removemos o termo cúbico. Podemos fazer isso através de uma substituição. Seja \( x = y - \frac{b}{4a} \). Substituindo \( x \) na equação original e simplificando, você obtém uma nova equação do quarto grau da forma \( y^4 + py^2 + qy + r = 0 \), onde os coeficientes \( p \), \( q \), e \( r \) são funções dos coeficientes originais \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), e \( e \).

**Passo 2: Transformar a equação para a forma \( y^4 + py^2 + qy + r = 0 \) em uma cúbica**

Agora, substituímos \( z = y^2 \) para transformar a equação em uma cúbica. Isso dá:

\[ z^2 + pz + qy + r = 0 \]

Aqui, você precisa resolver essa equação cúbica para \( z \).

**Passo 3: Resolver a equação cúbica**

A equação cúbica pode ser resolvida usando a fórmula de Cardano ou métodos numéricos. Suponha que encontramos as soluções \( z_1 \), \( z_2 \), e \( z_3 \). 

**Passo 4: Encontrar as raízes \( y \) para cada \( z \)**

Para cada solução \( z_i \), resolvemos:

\[ y^2 = z_i \]

Então, para cada \( z_i \), encontramos:

\[ y = \pm \sqrt{z_i} \]

**Passo 5: Reverter a substituição**

Finalmente, substituímos \( y = x + \frac{b}{4a} \) de volta para encontrar as soluções para \( x \).

### Exemplo Detalhado

Vamos considerar um exemplo simples:

\[ x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \]

**Passo 1: Transformar para a forma simplificada**

Aqui, \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -2 \), \( d = 0 \), e \( e = -3 \). Como já não há termo cúbico, estamos na forma simplificada \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \).

**Passo 2: Substituição \( y = x^2 \)**

Substituímos \( y = x^2 \):

\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]

**Passo 3: Resolver a equação quadrática**

Resolva a equação quadrática para \( y \):

\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]

Usando a fórmula quadrática:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Aqui, \( a = 1 \), \( b = -2 \), e \( c = -3 \):

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \]

\[ y = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Então, as soluções para \( y \) são:

\[ y = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y = \frac{-2}{2} = -1 \]

**Passo 4: Encontrar \( x \)**

Para \( y = x^2 \):

- Se \( y = 3 \), então \( x^2 = 3 \) e \( x = \pm \sqrt{3} \).
- Se \( y = -1 \), então \( x^2 = -1 \) e \( x = \pm i \).

Então, as raízes da equação original são:

\[ x = \pm \sqrt{3}, \; \pm i \]

Essas são as quatro raízes da equação do quarto grau \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \).