Cálculo da Derivada

Giovana Martins escreveu:

Me corrija se eu estiver errada, mas se eu entendi direito a resolução, sem querer você confundiu a notação da inversa da função com a elevação da função ao expoente - 1.

"cot = 1/tg  ⇒  cot^-1 = tg"

Este "cot^-1" que você obteve não é a inversa da função, mas sim a cotangente elevada a menos 1.

A derivada da função trigonométrica f(x) = arccot(x) é dada por:

\[\mathrm{\frac{d}{dx}[arccot(x)]=-\frac{1}{1+x^2}}\]

Da regra da cadeia:

\[\mathrm{\frac{d}{dx}[arccot(g(x))]=-\frac{1}{1+[g(x)]^2}\frac{d}{dx}[g(x)]}\]

Sendo:

\[\mathrm{g(x)=\frac{x-1}{x+2}}\]

Giovana Martins escreveu:

Antes que eu me esqueça: essas derivadas de funções mais particulares, por exemplo, arctan(x), arccot(x), arctanh(x), arcsinh(x) etc, eu não sei de cabeça. Há a demonstração para todas elas nos livros didáticos. Entretanto, elas também são bastante comuns de serem encontradas de forma tabelada, isto é, elas são apresentadas para uso imediato, igual o que eu fiz na resolução.

Eu não demonstrei a derivada da função arco cotangente, porque eu mesma não sei como chega nela, mas sei que é fácil de encontrar na internet e a demonstração também não é tão complicada.

matheus_feb escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Me corrija se eu estiver errada, mas se eu entendi direito a resolução, sem querer você confundiu a notação da inversa da função com a elevação da função ao expoente - 1.

"cot = 1/tg  ⇒  cot^-1 = tg"

Este "cot^-1" que você obteve não é a inversa da função, mas sim a cotangente elevada a menos 1.

A derivada da função trigonométrica f(x) = arccot(x) é dada por:

\[\mathrm{\frac{d}{dx}[arccot(x)]=-\frac{1}{1+x^2}}\]

Da regra da cadeia:

\[\mathrm{\frac{d}{dx}[arccot(g(x))]=-\frac{1}{1+[g(x)]^2}\frac{d}{dx}[g(x)]}\]

Sendo:

\[\mathrm{g(x)=\frac{x-1}{x+2}}\]

Acho que esse foi meu erro. Como cotg é o inverso da tangente, eu acreditei que o inverso de cotg seria a tangente...

Giovana Martins escreveu:

A propósito, o gabarito da questão está errado.