Cálculo derivada

Gráfico de uma função f(x):

Seja f'(x) a função derivada de f(x). Lembre-se de que, para que cada número real x no domínio de f, a derivada f'(x) fornece o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x,f(x)). Sendo assim, julgue cada uma das seguintes informações como Verdadeira ou Falsa.

a) f'(X2) < f'(X4) e f'(x)<0 para todo x ∈ [X2,X4]
b) f'(x) ≠ 0 para todo x ∈ [X5,X6]
c) f'(X2) < 0, f'(X3) < 0, f'(X4) > f'(X5)
d) f'(X1) > 0, f'(X5) > 0, e f'(X1) > f'(X5)
e) f'(X3) < f'(X5) e f'(x) < 0 para todo x ∈ [X2,X3]
f) f'(X2) < 0, f'(X6) < 0, e f'(X2) > f'(X6)
g) f'(x) = 0 para algum número x ∈ [X5, X6]

no trecho mostrado no gráfico, os pontos assinalados são:
A = máximo local
B = mínimo local
C = máximo absoluto
nestes pontos A, B e C a tangente é paralela ao eixo x e a derivada f'(x) = 0.

de x1- até A e de B até C temos f(x) crescente ---> f'(x) > 0
de A até B e de C até x6+ temos f(x) decrescente ---> f'(x) < 0

agora olhamos as alternativas.

a) FALSA
f'(x2) < 0 e f'(x4) > 0  -----> f'(x2) < f'(x4)
porém a partir do ponto B a função é crescente, então a derivada f'(x) é positiva. Justamente no ponto B a f'(x) passa pelo zero mudando de negativa para positiva.

b) FALSA
entre x5 e x6 a função tem um máximo (no ponto C) e nesse ponto a derivada é zero.

c) FALSA
de fato f'(x2) e f'(x3) são negativas mas f'(x4) NÃO é maior que f'(x5) pois nestes pontos, apesar de ambas as declividades serem positivas, a de x5 é muito maior.

d) FALSA
em x1 e x5 a função é crescente, logo a derivada é positiva nesses pontos. Contudo a declividade da curva em x5 é visivelmente maior que em x1, portanto a derivada em x5 é maior que em x1.

e) VERDADE
f'(x3) < f'(x5) é verdade, tanto que a primeira é negativa e a segunda é positiva.
no intervalo fechado x2 a x3 a função é sempre decrescente (entre A e B, lembra?), então a derivada é negativa nesse trecho.

f) VERDADE
similarmente ao item (d), ambas as declividades são negativas porém é muito mais negativa em x6 do que em x2. Então f'(x6) é mais negativa que f'(x2), portanto aquela é menor do que está.

g) VERDADE
conforme vimos no item b), a função f(x) tem um máximo no intervalo [x5, x6] -- ponto assinalado C -- e portanto a derivada f'(x) nesse ponto é zero.

Uma ideia aproximada do gráfico da derivada f'(x):