Cálculo de derivada
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Cálculo de derivada
por pedin2323 Seg 12 Set 2022, 13:43
X^x^x( x elevado a x elevado a x)
Como que deriva isso?
Como que deriva isso?
pedin2323- Iniciante
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Re: Cálculo de derivada
por al171 Seg 12 Set 2022, 19:22
A princípio, vamos investigar uma outra derivada: a da função \(x^x\).
\[
w(x) = x^x \implies \ln w = x \ln x \implies \frac{w'}{w} = \ln x + 1 \Leftrightarrow w'(x) = x^x(1 + \ln x)
\]
Agora sim, adiante
\[
f(x) = x^{\left( x^x \right)} \implies \ln f(x) = x^x \ln x \implies \frac{f'}{f} = w'(x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1+\ln x)\ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}
\]
Isolando a \( f'(x) \)
\[\begin{aligned}
f'(x) & = x^{x^x} \cdot x^x \cdot \frac{1}{x} \left[ x\ln^2x + x\ln x + 1 \right] \\
& = x^{x^x + x -1} \left( x\ln^2x + x \ln x + 1 \right)
\end{aligned}
\]
\[
w(x) = x^x \implies \ln w = x \ln x \implies \frac{w'}{w} = \ln x + 1 \Leftrightarrow w'(x) = x^x(1 + \ln x)
\]
Agora sim, adiante
\[
f(x) = x^{\left( x^x \right)} \implies \ln f(x) = x^x \ln x \implies \frac{f'}{f} = w'(x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1+\ln x)\ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}
\]
Isolando a \( f'(x) \)
\[\begin{aligned}
f'(x) & = x^{x^x} \cdot x^x \cdot \frac{1}{x} \left[ x\ln^2x + x\ln x + 1 \right] \\
& = x^{x^x + x -1} \left( x\ln^2x + x \ln x + 1 \right)
\end{aligned}
\]
al171- Fera
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