Integrais das frações racionais

Giovana Martins escreveu:

\[\mathrm{\int \left(\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}\right) dx=\int\left[\frac{4x^2+13x-9}{x(x-1)(2x+3)}\right] dx=\int\left[\frac{3}{x}+\frac{8}{5(x-1)}-\frac{26}{5(2x+3)}\right] dx}\]

\[\mathrm{\int\left(\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}\right) dx=3\int \left(\frac{1}{x}\right)dx+\frac{8}{5}\int \left(\frac{1}{x-1}\right)dx-\frac{26}{5}\int \left(\frac{1}{2x+3}\right)dx}\]

\[\mathrm{\boxed{\mathrm{\int\left(\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}\right) dx=3ln|x|+\frac{8}{5}ln|x-1|-\frac{13}{5}ln|2x+3|+C}}}\]

Giovana Martins escreveu:

Posso sim. A ideia vem da decomposição de funções racionais em frações parciais. Veja:

\[\mathrm{\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}=\frac{4x^2+13x-9}{x(x-1)(2x+3)}}\]

A forma da fração parcial decomposta é dada por:

\[\mathrm{\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2x+3}=\frac{(2a+2b+c)x^{2}+(a+3b-c)x-3a}{2x^3+x^2-3x}}\]

Da congruência polinomial:

\[\begin{cases}\mathrm{2a+2b+c=3} \\ \mathrm{a+3b-c=13} \\ \mathrm{-3a=-9}\end{cases}\ \therefore\ \mathrm{(a,b,c)=\left(3,\frac{8}{5},-\frac{26}{5}\right)}\]
Deste modo:

\[\mathrm{\frac{4x^2+13x-9}{2x^3+x^2-3x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2x+3}=\frac{3}{x}+\frac{8}{5(x-1)}-\frac{26}{5(2x+3)}}\]

Se houver dúvidas, avise.

Giovana Martins escreveu:

Certeza de que a escrita do denominador é x²+2x²-3x?

Não me parece fazer tanto sentido, pois o natural seria escrever 3x²-3x, ao invés da forma como está escrito.