resolução do terceiro grau

A equação cúbica (de terceiro grau) pode ser resolvida usando uma fórmula geral conhecida como fórmula de Cardano. Essa fórmula é um pouco mais complexa do que a fórmula quadrática para polinômios de segundo grau, mas ainda é bastante poderosa. Vou apresentar uma visão geral da solução geral para a equação cúbica.

### Forma Geral da Equação Cúbica

A equação cúbica geral é dada por:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

Para simplificar a resolução, muitas vezes transformamos essa equação para a forma reduzida, onde o coeficiente de \( x^2 \) é zero. Isso pode ser feito por uma substituição adequada. A equação cúbica reduzida é:

\[ t^3 + pt + q = 0 \]

onde \( t \) é uma nova variável, e \( p \) e \( q \) são parâmetros que dependem dos coeficientes originais \( a \), \( b \), \( c \), e \( d \). A relação entre os coeficientes da equação original e a forma reduzida é dada por:

\[ t = x + \frac{b}{3a} \]

### Solução Usando a Fórmula de Cardano

Para a equação reduzida \( t^3 + pt + q = 0 \), a fórmula de Cardano é a seguinte:

1. **Calcule o discriminante**:

   O discriminante \( \Delta \) da equação cúbica é dado por:

   \[ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 \]

2. **Determine as raízes**:

   - Se \( \Delta > 0 \), a equação tem uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas.
   - Se \( \Delta = 0 \), a equação tem uma raiz real com multiplicidade 3 ou duas raízes reais iguais.
   - Se \( \Delta < 0 \), a equação tem três raízes reais distintas.

   Para encontrar as raízes, usamos a seguinte fórmula para a raiz real:

   - Calcule \( \Delta_1 \) e \( \Delta_2 \) onde:

     \[ \Delta_1 = \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \]
     \[ \Delta_2 = \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{3}\right)^3} \]

   - Se \( \Delta_1 \geq 0 \):

     As raízes podem ser encontradas como:

     \[ t_k = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} \]

     onde \( k \) é um índice que varia para as diferentes raízes reais e complexas.

### Resolução dos Casos Especiais

- **Quando \( p = 0 \)**:

  A equação reduzida é:

  \[ t^3 + q = 0 \]

  A solução é simplesmente:

  \[ t = \sqrt[3]{-q} \]

- **Quando \( q = 0 \)**:

  A equação reduzida é:

  \[ t^3 + pt = 0 \]

  Aqui, as soluções são:

  \[ t = 0 \]
  \[ t = \pm \sqrt{-p} \]

### Exemplo de Aplicação

Considere a equação cúbica \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \). Para resolver esta equação, você pode usar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes ou aplicar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as raízes.

### Resumo

A solução geral para a equação cúbica pode ser encontrada usando a fórmula de Cardano, que envolve cálculos de discriminantes e raízes cúbicas. Para a equação cúbica reduzida \( t^3 + pt + q = 0 \), a solução pode ser complexa, mas existe uma fórmula geral para encontrar as raízes reais e complexas.