Campo Real (2023) - Geometria Plana

por Ocram03 Dom 08 Set 2024, 20:09

Na figura ao lado, o triângulo ABC tem vértices coincidindo com os pontos médios dos

lados de um quadrado, e o triângulo PQR tem vértices coincidindo com os pontos médios

dos lados do triângulo ABC. Considerando essas informações, a área da região pintada

em cinza, em relação à área do quadrado, é de:

Campo Real (2023) - Geometria Plana Screen12

a) 9,37%.
b) 12,50%.
c) 18,75%.
d) 22,50%.
e) 37,50%.

Gabarito:

por **Giovana Martins** Dom 08 Set 2024, 20:39

Seja um sistema xOy cuja origem encontra-se em A e seja 4ℓ (para não ter que lidar com frações) o lado do quadrado. Assim: A(0,0), B(2ℓ,2ℓ) e C(-2ℓ,2ℓ).

Ademais, P(-ℓ,ℓ), Q(ℓ,ℓ) e R(0,2ℓ).

Por geometria analítica a área hachurada é dada por:

\[\mathrm{A_H=\frac{1}{2}}\begin{Vmatrix}0 & 0 & 1 \\-2\ell &2\ell &1 \\2\ell & 2\ell &1 \\\end{Vmatrix}-\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}0 &2\ell &1 \\-\ell &\ell &1 \\\ell &\ell &1 \\\end{Vmatrix}=3\ell ^{2}\ \therefore\ \mathrm{\frac{A_H}{A_Q}=\frac{3\ell ^{2}}{16\ell ^{2}}=18,75\%}\]

Se houver dúvidas, é só falar.