Energia dissipada no sistema RC

por Lipo_f Sex 06 Set 2024, 13:22

Três capacitores idênticos de capacitância C são carregados em série através de uma bateria de força eletromotriz ε.

Energia dissipada no sistema RC Imagem24

Após o processo de carga, a bateria é retirada e dois resistores de resistência R são conectados como mostrado na figura. Calcule a energia total dissipada pelos resistores.

Gabarito::

por **Giovana Martins** Dom 08 Set 2024, 17:18

Com os capacitares em série a capacitância equivalente é dada por:

\[\mathrm{\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}\ \therefore\ C_{eq}=\frac{C}{3}}\]

A carga de cada capacitor é dada por:

\[\mathrm{Q=C_{eq}\epsilon\ \therefore\ Q=\frac{C\epsilon}{3}}\]

Energia armazenada no sistema imediatamente antes de a bateria ser extraída do sistema:

\[\mathrm{E_i=\frac{C_{eq}\epsilon ^2}{2}\ \therefore\ E_i=\frac{C\epsilon ^2}{6}}\]

Agora, da forma como foi disposto o novo circuito, este encontra-se em paralelo tal que a carga a ser disponibilizada para o sistema é dada por:

\[\mathrm{Q_d=Q+Q-Q\ \therefore\ Q_d=Q}\]

Quando o sistema entra em equilíbrio, isto é, quando a distribuição da energia pelo novo sistema cessa, a carga em cada capacitor será dada por:

\[\mathrm{Q_c=\frac{Q_d}{3}\ \therefore\ Q_c=\frac{Q}{3}}\]

Quando o sistema encontra-se em série, a diferença de potencial no sistema é ε. Por sua vez, com os capacitares em paralelo a diferença de potencial estabelecida reduz-se a um terço para cada capacitor.

A capacitância equivalente do sistema em paralelo é dada por:

\[\mathrm{C_{eq}=C+C+C\ \therefore\ C_{eq}=3C}\]

Com o sistema em paralelo a energia armazenada no sistema é dada por:

\[\mathrm{E_f=\frac{Q_c^{2}}{2C_{eq}}=\frac{1}{2C_{eq}}\left ( \frac{Q }{3} \right )^{2}=\frac{Q^{2}}{18C_{eq}}=\frac{C^{2}_{eq}}{18C_{eq}}\left ( \frac{\epsilon }{3} \right )^{2}=\frac{C_{eq}\epsilon ^{2}}{162}=\frac{3C\epsilon ^{2}}{162}\ \therefore\ E_f=\frac{C\epsilon ^{2}}{54}}\]

A energia dissipada no sistema é dada por:

\[\mathrm{\Delta E=\left|E_f-E_i \right|=C\epsilon ^{2}\left|\frac{1}{54}-\frac{1}{6} \right|\ \therefore\ \Delta E=\frac{4}{27}C\epsilon ^{2}}\]

Como os resistires são iguais, pela simetria a energia dissipada em cada resistor é dada por:

\[\mathrm{ E_{Resistor}=\frac{\Delta E}{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{E_{Resistor}=\frac{2}{27}C\epsilon ^{2}}}}\]

Acredito que seja isto.

por Lipo_f Dom 08 Set 2024, 19:06

Giovana, você extremamente lacruda e nenhum outro adjetivo conseguiria expressar isso. Agradeço enormemente pela resposta. Energia dissipada no sistema RC 503132