Iezzi 3 volumes exercício 33

por brunoriboli Ter 23 Jul 2024, 14:43

Durante um tratamento médico, verificou-se que a concentração C, em miligramas por litro, de um certo medicamento na corrente sanguínea satisfaz a desigualdade: (3-C)*|C| -2|C-3|>=0

a) Verifique se a concentração do medicamento na corrente sanguínea pode ser igual a 0,5 miligrama por litro. Justifique, mostrando seus cálculos.

b) Determine o menor valor da concentração deste medicamento na corrente sanguínea. Justifique, mostrando seus cálculos.

Gabarito: a) não
b) 2mg/L

Consegui achar resultado pra letra a e não sei fazer a letra b. Gostaria de saber se minha resolução pra letra a está correta:

a) i) |C| = C, se C >= 0
-C, se C < 0

ii) |C-3| = C - 3, se C >= 3
-C + 3, se C < 3

iii) para C < 0, Temos:

(3-C)*(-C) -2*(-C+3)= 0,5
C²-3C+2C-6-0,5=0
C²-C-6,5=0

∆ = 1-4*1*(-6,5)
∆ = 1+26
∆ = 27

(1+- √27)/2 = (1+ 3√3)/2
ou (1-3√3)/2

Somente (1-3√3)/2 vale.

iv) para 0<=X<3, Temos

(3-C)*C-2(-C+3) = 0,5
-C²+3C+2C-6-0,5 =0
-C²+5C-6,5=0

∆ = 25-4*(-1)*(-6,5)
∆ = 25-26
∆ = -1

∄ x ∈ ℝ

iv) para C >= 3

(3-C) * C -2(C-3) = 0,5
-C²+3C-2C+6-0,5= 0
-C²+C +5,5= 0

∆ = 1-4*(-1)*(5,5)
∆ = 1+22
∆ = 23

(-1+-√23)/-2 = (-1+√23)/-2 = (1-√23)/2
ou (-1-√23)/-2 = (1+√23)/2

Nenhum vale pois são menores que 3

v) S = {(1-3√3)/2

por **Giovana Martins** Dom 04 Ago 2024, 08:09

Não está correto o que você fez. Vou propor a minha solução para você poder comparar, pois as suas 3 condições estão corretas, mas você errou continhas.

Item A:

Por definição:

|C| = C, se C ≥ 0 ou |C| = - C, se C < 0

Também por definição:

|C - 3| = C - 3, se C ≥ 3 ou |C - 3| = - C + 3 se C < 3

Assim, temos 3 casos para analisar, quais sejam:

C < 0 (i);

0 ≤ C < 3 (ii);

C ≥ 3 (iii).

Para C < 0:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)(-C) - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ C ≤ - 2 ou C ≥ 3 (iv)

(i) Ո (iv) ∴ C ≤ - 2 (v)

Para 0 ≤ C < 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ 2 ≤ C ≤ 3 (vi)

(ii) Ո (vi) ∴ 2 ≤ C < 3 (vii)

Para C ≥ 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(C - 3) ≥ 0 ∴ - 2 ≤ C ≤ 3 (viii)

(iii) Ո (viii) ∴ C = 3 (ix)

A solução é dada por:

(v) U (vii) U (ix) ∴ C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3 (x)

Mas note que esta resposta ainda não está correta, pois a grandeza "concentração", por sua natureza, nunca assumirá valores negativos. O máximo que pode acontecer é a concentração do medicamento ser nula. Deste modo, para chegarmos ao resultado final para o item A, devemos fazer a intersecção de (x) como C ≥ 0. Portanto, o gabarito do item A é:

[0,+∞) Ո (x) ∴ 2 mg/L ≤ C ≤ 3 mg/L (gabarito)

Deste modo, não há a possibilidade de a concentração do medicamento se de 0,5 mg/L.

Item B:

Da faixa de valores de concentrações que corresponde ao gabarito do item A, note que o menor valor de concentração que o medicamento pode assumir corresponde a 2 mg/L. O maior valor, por sua vez, corresponde a 3 mg/L.

por brunoriboli Dom 04 Ago 2024, 11:00

Giovana Martins escreveu:
Não está correto o que você fez. Vou propor a minha solução para você poder comparar, pois as suas 3 condições estão corretas, mas você errou continhas.

Item A:

Por definição:

|C| = C, se C ≥ 0 ou |C| = - C, se C < 0

Também por definição:

|C - 3| = C - 3, se C ≥ 3 ou |C - 3| = - C + 3 se C < 3

Assim, temos 3 casos para analisar, quais sejam:

C < 0 (i);

0 ≤ C < 3 (ii);

C ≥ 3 (iii).

Para C < 0:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)(-C) - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ C ≤ - 2 ou C ≥ 3 (iv)

(i) Ո (iv) ∴ C ≤ - 2 (v)

Para 0 ≤ C < 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ 2 ≤ C ≤ 3 (vi)

(ii) Ո (vi) ∴ 2 ≤ C < 3 (vii)

Para C ≥ 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(C - 3) ≥ 0 ∴ - 2 ≤ C ≤ 3 (viii)

(iii) Ո (viii) ∴ C = 3 (ix)

A solução é dada por:

(v) U (vii) U (ix) ∴ C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3 (x)

Mas note que esta resposta ainda não está correta, pois a grandeza "concentração", por sua natureza, nunca assumirá valores negativos. O máximo que pode acontecer é a concentração do medicamento ser nula. Deste modo, para chegarmos ao resultado final para o item A, devemos fazer a intersecção de (x) como C ≥ 0. Portanto, o gabarito do item A é:

[0,+∞) Ո (x) ∴ 2 mg/L ≤ C ≤ 3 mg/L (gabarito)

Deste modo, não há a possibilidade de a concentração do medicamento se de 0,5 mg/L.

Item B:

Da faixa de valores de concentrações que corresponde ao gabarito do item A, note que o menor valor de concentração que o medicamento pode assumir corresponde a 2 mg/L. O maior valor, por sua vez, corresponde a 3 mg/L.

Você igualou as funções todas com >= 0 em todos os intervalos. Dessa forma se encontra sempre o menor e o maior valor que a função modular assume?

por **Giovana Martins** Dom 04 Ago 2024, 11:09

brunoriboli escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Não está correto o que você fez. Vou propor a minha solução para você poder comparar, pois as suas 3 condições estão corretas, mas você errou continhas.

Item A:

Por definição:

|C| = C, se C ≥ 0 ou |C| = - C, se C < 0

Também por definição:

|C - 3| = C - 3, se C ≥ 3 ou |C - 3| = - C + 3 se C < 3

Assim, temos 3 casos para analisar, quais sejam:

C < 0 (i);

0 ≤ C < 3 (ii);

C ≥ 3 (iii).

Para C < 0:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)(-C) - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ C ≤ - 2 ou C ≥ 3 (iv)

(i) Ո (iv) ∴ C ≤ - 2 (v)

Para 0 ≤ C < 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ 2 ≤ C ≤ 3 (vi)

(ii) Ո (vi) ∴ 2 ≤ C < 3 (vii)

Para C ≥ 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(C - 3) ≥ 0 ∴ - 2 ≤ C ≤ 3 (viii)

(iii) Ո (viii) ∴ C = 3 (ix)

A solução é dada por:

(v) U (vii) U (ix) ∴ C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3 (x)

Mas note que esta resposta ainda não está correta, pois a grandeza "concentração", por sua natureza, nunca assumirá valores negativos. O máximo que pode acontecer é a concentração do medicamento ser nula. Deste modo, para chegarmos ao resultado final para o item A, devemos fazer a intersecção de (x) como C ≥ 0. Portanto, o gabarito do item A é:

[0,+∞) Ո (x) ∴ 2 mg/L ≤ C ≤ 3 mg/L (gabarito)

Deste modo, não há a possibilidade de a concentração do medicamento se de 0,5 mg/L.

Item B:

Da faixa de valores de concentrações que corresponde ao gabarito do item A, note que o menor valor de concentração que o medicamento pode assumir corresponde a 2 mg/L. O maior valor, por sua vez, corresponde a 3 mg/L.

Você igualou as funções todas com >= 0 em todos os intervalos. Dessa forma se encontra sempre o menor e o maior valor que a função modular assume?

Bom dia, Bruno. Espero que esteja bem.

Quanto a sua pergunta, a resposta é não.

O C ≥ 0 é apenas uma particularidade do exercício.

Veja: se apenas tivéssemos que resolver a inequação (3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0, sendo C uma variável qualquer pertencente aos reais, a resposta para o problema seria C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3. Entretanto, a variável C, no problema, tem um significado, isto é, a variável C corresponde à concentração do medicamento, motivo pelo qual, ao final da questão, eu preciso estabelecer a condição C ≥ 0, já que não faz sentido uma concentração negativa.

O C ≥ 0 que aparece em (ii) nada tem a ver com trecho indicado acima. O C ≥ 0 da condição (ii) decorre da definição matemática do módulo.

Impor C ≥ 0 igual eu fiz ao final da resolução não é para achar o valor mínimo da grandeza. Isso aconteceu, pois quem formulou o problema o formulou para que isso acontecesse. Impor C ≥ 0 é necessário para que não tenhamos a incoerência da concentração negativa.

por brunoriboli Dom 04 Ago 2024, 11:22

Giovana Martins escreveu:
brunoriboli escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Não está correto o que você fez. Vou propor a minha solução para você poder comparar, pois as suas 3 condições estão corretas, mas você errou continhas.

Item A:

Por definição:

|C| = C, se C ≥ 0 ou |C| = - C, se C < 0

Também por definição:

|C - 3| = C - 3, se C ≥ 3 ou |C - 3| = - C + 3 se C < 3

Assim, temos 3 casos para analisar, quais sejam:

C < 0 (i);

0 ≤ C < 3 (ii);

C ≥ 3 (iii).

Para C < 0:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)(-C) - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ C ≤ - 2 ou C ≥ 3 (iv)

(i) Ո (iv) ∴ C ≤ - 2 (v)

Para 0 ≤ C < 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ 2 ≤ C ≤ 3 (vi)

(ii) Ո (vi) ∴ 2 ≤ C < 3 (vii)

Para C ≥ 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(C - 3) ≥ 0 ∴ - 2 ≤ C ≤ 3 (viii)

(iii) Ո (viii) ∴ C = 3 (ix)

A solução é dada por:

(v) U (vii) U (ix) ∴ C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3 (x)

Mas note que esta resposta ainda não está correta, pois a grandeza "concentração", por sua natureza, nunca assumirá valores negativos. O máximo que pode acontecer é a concentração do medicamento ser nula. Deste modo, para chegarmos ao resultado final para o item A, devemos fazer a intersecção de (x) como C ≥ 0. Portanto, o gabarito do item A é:

[0,+∞) Ո (x) ∴ 2 mg/L ≤ C ≤ 3 mg/L (gabarito)

Deste modo, não há a possibilidade de a concentração do medicamento se de 0,5 mg/L.

Item B:

Da faixa de valores de concentrações que corresponde ao gabarito do item A, note que o menor valor de concentração que o medicamento pode assumir corresponde a 2 mg/L. O maior valor, por sua vez, corresponde a 3 mg/L.

Você igualou as funções todas com >= 0 em todos os intervalos. Dessa forma se encontra sempre o menor e o maior valor que a função modular assume?

Bom dia, Bruno. Espero que esteja bem.

Quanto a sua pergunta, a resposta é não.

O C ≥ 0 é apenas uma particularidade do exercício.

Veja: se apenas tivéssemos que resolver a inequação (3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0, sendo C uma variável qualquer pertencente aos reais, a resposta para o problema seria C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3. Entretanto, a variável C, no problema, tem um significado, isto é, a variável C corresponde à concentração do medicamento, motivo pelo qual, ao final da questão, eu preciso estabelecer a condição C ≥ 0, já que não faz sentido uma concentração negativa.

O C ≥ 0 que aparece em (ii) nada tem a ver com trecho indicado acima. O C ≥ 0 da condição (ii) decorre da definição matemática do módulo.

Impor C ≥ 0 igual eu fiz ao final da resolução não é para achar o valor mínimo da grandeza. Isso aconteceu, pois quem formulou o problema o formulou para que isso acontecesse. Impor C ≥ 0 é necessário para que não tenhamos a incoerência da concentração negativa.

Ok obrigado bom dia.

por **Giovana Martins** Dom 04 Ago 2024, 11:24

brunoriboli escreveu:
Giovana Martins escreveu:
brunoriboli escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Não está correto o que você fez. Vou propor a minha solução para você poder comparar, pois as suas 3 condições estão corretas, mas você errou continhas.

Item A:

Por definição:

|C| = C, se C ≥ 0 ou |C| = - C, se C < 0

Também por definição:

|C - 3| = C - 3, se C ≥ 3 ou |C - 3| = - C + 3 se C < 3

Assim, temos 3 casos para analisar, quais sejam:

C < 0 (i);

0 ≤ C < 3 (ii);

C ≥ 3 (iii).

Para C < 0:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)(-C) - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ C ≤ - 2 ou C ≥ 3 (iv)

(i) Ո (iv) ∴ C ≤ - 2 (v)

Para 0 ≤ C < 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(3 - C) ≥ 0 ∴ 2 ≤ C ≤ 3 (vi)

(ii) Ո (vi) ∴ 2 ≤ C < 3 (vii)

Para C ≥ 3:

(3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0 → (3 - C)C - 2(C - 3) ≥ 0 ∴ - 2 ≤ C ≤ 3 (viii)

(iii) Ո (viii) ∴ C = 3 (ix)

A solução é dada por:

(v) U (vii) U (ix) ∴ C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3 (x)

Mas note que esta resposta ainda não está correta, pois a grandeza "concentração", por sua natureza, nunca assumirá valores negativos. O máximo que pode acontecer é a concentração do medicamento ser nula. Deste modo, para chegarmos ao resultado final para o item A, devemos fazer a intersecção de (x) como C ≥ 0. Portanto, o gabarito do item A é:

[0,+∞) Ո (x) ∴ 2 mg/L ≤ C ≤ 3 mg/L (gabarito)

Deste modo, não há a possibilidade de a concentração do medicamento se de 0,5 mg/L.

Item B:

Da faixa de valores de concentrações que corresponde ao gabarito do item A, note que o menor valor de concentração que o medicamento pode assumir corresponde a 2 mg/L. O maior valor, por sua vez, corresponde a 3 mg/L.

Você igualou as funções todas com >= 0 em todos os intervalos. Dessa forma se encontra sempre o menor e o maior valor que a função modular assume?

Bom dia, Bruno. Espero que esteja bem.

Quanto a sua pergunta, a resposta é não.

O C ≥ 0 é apenas uma particularidade do exercício.

Veja: se apenas tivéssemos que resolver a inequação (3 - C)|C| - 2|C - 3| ≥ 0, sendo C uma variável qualquer pertencente aos reais, a resposta para o problema seria C ≤ - 2 U 2 ≤ C ≤ 3. Entretanto, a variável C, no problema, tem um significado, isto é, a variável C corresponde à concentração do medicamento, motivo pelo qual, ao final da questão, eu preciso estabelecer a condição C ≥ 0, já que não faz sentido uma concentração negativa.

O C ≥ 0 que aparece em (ii) nada tem a ver com trecho indicado acima. O C ≥ 0 da condição (ii) decorre da definição matemática do módulo.

Impor C ≥ 0 igual eu fiz ao final da resolução não é para achar o valor mínimo da grandeza. Isso aconteceu, pois quem formulou o problema o formulou para que isso acontecesse. Impor C ≥ 0 é necessário para que não tenhamos a incoerência da concentração negativa.

Ok obrigado bom dia.