Iezzi 3 volumes exercício 29

por brunoriboli Seg 22 Jul 2024, 17:46

Seja a função real dada por f(x) = ax² + bx + c, com a > 0. Determine a, b, c sabendo que as raízes da equação |f(x)| = 12 são -2, 1, 2 e 5.

Gabarito: a = 2, b = -6, c = -8.

por Lipo_f Seg 22 Jul 2024, 23:25

ax² + bx + c = +-12. O produto delas todas é (c+12)/a . (c-12)/a = (c²-144)/a² = -20 <=> 20a² + c² = 144
Também deve a soma: -b/a + -b/a = -2b/a = 6 <=> a+ b = -2a.
Tacando x = 1:
|a + b + c| = 12
|-2a + c| = 12. Assuma -2a + c = 12 -> c = 2(6 + a)
20a² + 4(6+a)² = 144 <=> 5a² + (6+a)² = 36 <=> 5a² + 36 + 12a + a² = 36 <=> 6a² + 12a = 0 <=> a = 0 ou a = -2, absurdo
=> -2a + c = -12 -> c = 2(a - 6)
20a² + 4(a-6)² = 144 <=> 5a² + (a-6)² = 36 <=> 5a² + 36 - 12a + a² = 36 <=> 6a² - 12a = 0 <=> a =0 ou a = 2.
Logo b = -3(2) = -6 e c = 2(2-6) = -8.

por brunoriboli Ter 23 Jul 2024, 15:20

Lipo_f escreveu:ax² + bx + c = +-12. O produto delas todas é (c+12)/a . (c-12)/a = (c²-144)/a² = -20 <=> 20a² + c² = 144
Também deve a soma: -b/a + -b/a = -2b/a = 6 <=> a+ b = -2a.
Tacando x = 1:
|a + b + c| = 12
|-2a + c| = 12. Assuma -2a + c = 12 -> c = 2(6 + a)
20a² + 4(6+a)² = 144 <=> 5a² + (6+a)² = 36 <=> 5a² + 36 + 12a + a² = 36 <=> 6a² + 12a = 0 <=> a = 0 ou a = -2, absurdo
=> -2a + c = -12 -> c = 2(a - 6)
20a² + 4(a-6)² = 144 <=> 5a² + (a-6)² = 36 <=> 5a² + 36 - 12a + a² = 36 <=> 6a² - 12a = 0 <=> a =0 ou a = 2.
Logo b = -3(2) = -6 e c = 2(2-6) = -8.

Vc fez o X1 + x2 + X1 + x2 e X1 * x2 * X1 * x2? Essa é a questão mais difícil que encontrei até agora de módulo. Tô boiando. Vc fez relações de Girard pra equação original e pro oposto é isso?

por Lipo_f Qua 24 Jul 2024, 15:09

brunoriboli escreveu:
Vc fez o X1 + x2 + X1 + x2 e X1 * x2 * X1 * x2? Essa é a questão mais difícil que encontrei até agora de módulo. Tô boiando. Vc fez relações de Girard pra equação original e pro oposto é isso?

Isso. Eu somei o povo todo e multipliquei tudinho. Depois eu supus os dois únicos caminhos pra raiz mais simples.