Integral Dupla

Use mudança de variável e encontre


[latex]\int_{}^{}\int_{R}^{}x^2+y^2dA[/latex]


onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles x² - y² = 9, x² - y² = 1, xy=2 e xy=4.


A região que encontrei foi essa, mas estou com dificuldades pra descrever a região R em forma de conjunto.

A mudança de variável natural é u = x²-y² e v = xy, pois com isso as curvas ficam descritas pelas equações u = 1, u = 9, v = 2, v = 4. Entretanto, reparamos que tal mudança não é bijetiva em todo ℝ². Mas \( (x,y) \mapsto (u,v)\) é bijeção de \(\mathbb R^*_+ \times \mathbb R^*_+ \) em \(\mathbb R \times \mathbb R^*_+\). Ou seja, está tudo certo no primeiro quadrante.

Nessas novas coordenadas, a região de integração pode ser descrita por \( 1 \leq u \leq 9\) e \( 2 \leq v \leq 4\).  Fazendo as contas do Jacobiano temos:

\( \dfrac{\partial (u,v)}{\partial(x,y)} = \det \begin{bmatrix} 
2x & -2y \\
y & x
\end{bmatrix}  = 2x^2 + 2y^2 \implies \dfrac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \dfrac{1}{2(x^2+y^2)}\)

Portanto:

\( \displaystyle \iint_D x^2+y^2 \, dA = \int_1^9 \int_2^4 (x^2+y^2) \dfrac{1}{2(x^2+y^2)} \, dvdu = \dfrac 12 \cdot 2 \cdot 8 = 8\)