Sejam a = log₃5 e b = log₅20. Determine o valor de log

Uma ideia pra esse tipo de problema é colocar tudo numa mesma base. No caso dessas questão, fica mais fácil ver o que precisa ser feito em base 3 ou 5, mas em qualquer base é possível fazer o mesmo.


\( a = \log_3 5 \)

\( b = \log_5 20 = \dfrac{\log_3 20}{\log_3 5}  = \dfrac{\log_3 20}a \)

\( x = \log_{24} 60 = \dfrac{\log_3 60}{\log_3 24}\)

Como 60 = 3.20 temos \(\log_3 60 = \log_3 3 + \log_3 20 = 1 + ab \)

Como 24  = 2³.3  temos \(\log_3 24 = 3 \log_3 2  + \log_3 3 = 3 \log_3 2 + 1\)

Para calcular \(\log_3 2\) notamos que :

\(ab = \log_3 20 = \log_3 5 + 2 \log_3 2 = a + 2 \log_3 2 \implies \log_3 2= \dfrac{ab-a}2\)

Portanto \( \log_3 24 = \dfrac {3ab- 3a}2 + 1\)


Então:

\( \log_{24}60 = \dfrac{ \log_360} {\log_324} = \dfrac{ab+1}{\dfrac {3ab- 3a}2 + 1} = \dfrac{2(ab+1)}{3ab-3a+2}\)

isso significa que ou errei alguma conta ou o gabarito está incorreto

DaoSeek escreveu:Uma ideia pra esse tipo de problema é colocar tudo numa mesma base. No caso dessas questão, fica mais fácil ver o que precisa ser feito em base 3 ou 5, mas em qualquer base é possível fazer o mesmo.


\( a = \log_3 5 \)

\( b = \log_5 20 = \dfrac{\log_3 20}{\log_3 5}  = \dfrac{\log_3 20}a \)

\( x = \log_{24} 60 = \dfrac{\log_3 60}{\log_3 24}\)

Como 60 = 3.20 temos \(\log_3 60 = \log_3 3 + \log_3 20 = 1 + ab \)

Como 24  = 2³.3  temos \(\log_3 24 = 3 \log_3 2  + \log_3 3 = 3 \log_3 2 + 1\)

Para calcular \(\log_3 2\) notamos que :

\(ab = \log_3 20 = \log_3 5 + 2 \log_3 2 = a + 2 \log_3 2 \implies \log_3 2= \dfrac{ab-a}2\)

Portanto \( \log_3 24 = \dfrac {3ab- 3a}2 + 1\)


Então:

\( \log_{24}60 = \dfrac{ \log_360} {\log_324} = \dfrac{ab+1}{\dfrac {3ab- 3a}2 + 1} = \dfrac{2(ab+1)}{3ab-3a+2}\)

isso significa que ou errei alguma conta ou o gabarito está incorreto

 
 Encontrei o mesmo gabarito, mas achei que estivesse errando em algum ponto. Creio que a resolução "oficial" realmente esteja equivocada.
 Muito obrigada pela ajuda!

Laviny escreveu:
 
 Encontrei o mesmo gabarito, mas achei que estivesse errando em algum ponto. Creio que a resolução "oficial" realmente esteja equivocada.
 Muito obrigada pela ajuda!

Por nada. O gabarito deve estar mesmo incorreto

bons estudos!