Sejam p(x) = x² - 5x + 6 e q(x) = x² – 3x + 1

por Pedro Blazzio Dom 29 Jan 2023, 16:58

Sejam p(x) = x² - 5x + 6 e q(x) = x² – 3x + 1. Se a é um número real e p(a) <0, então q(a) satisfaz:
Gabarito: -1 < q(a) < 1

por **Elcioschin** Dom 29 Jan 2023, 18:33

p(x) = x² - 5.x + 6 --> p(x = (x - 2).(x - 3) ---> Raízes x' = 2 e x" = 3

Desenhe a parábola que passa por A(2, 0), B(3, 0) e C(0, 6)

Aplique a condição para p(x) < 0 e substitua em q(x) e encontre as soluções.

por **Giovana Martins** Dom 29 Jan 2023, 18:41

Esta questão é mais facilmente resolvida e entendida a partir de uma resolução gráfica.

Sejam p(x) = x² - 5x + 6 e q(x) = x² – 3x + 1 AVdOn8U+SfaNAAAAAElFTkSuQmCC

A partir de p(x): p(x) = x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Pela análise de sinal de p(x), tem-se que: p(x) < 0, ∀ x ∈ (2,3). Portanto, a ∈ (2,3).

Para a = 2, tem-se: q(2) = (2)² - 3.2 + 1 = -1

Para a = 3, tem-se que: q(3) = (3)² - 3.3 + 1 = 1

Portanto, -1 < q(a) < 1 (conforme o segmento azul do gráfico).

Naturalmente não pode ser -1 ≤ q(a) ≤ 1, pois a ∈ (2,3), isto é, o intervalo é aberto nos valores 2 e 3 de tal modo que "a" não assume nenhum desses dois valores.

Na resolução eu apenas atribuí a = 2 e a = 3 para obter os valores extremos.

Veja se você consegue entender. Do contrário, avise.