Logaritmos

Questão. Um posto de saúde iniciou a vacinação contra a febre amarela com um lote de ????
doses. Sabe-se que o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada
ano. Dessa maneira, certamente após 4 anos e 4 meses esse número passará a ser
igual a 20 vezes o inicial.
(Use: Log2 = 0, 3)

 Resposta: SIM! Eu achei o valor n = 5 anos e 4 meses aproximadamente, mas está errado! Como achar esse resultado de 4 anos e 4 meses? 

    Minha resolução:

* A cada ano dobra o valor de X > {x, 2x, 4x, 8x, 16x...}, logo isso é uma PG; 
* PG > A1.Q^n-1 (fórmula);
* A1 = X; Q = 2;
 
                  X.2^n-1
* Ele quer saber o ano em que o valor de X será de 20 vezes maior, então: 

                  X.2^n-1 = 20X 
                  2^n-1 = 20
 
* Agora usei o logaritmo dado na questão (Log2 =0,3):

                 Log(2^n-1) = Log(20)
                 (n-1)Log(2) = Log(2.10)
                 (n-1).0,3 = Log(2) + Log(10) 
                  0,3n - 0,3 = 0,3 + 1
                   0,3n = 1,6
                    n = 5,333...

O símbolo de logaritmo é log (e não Log)

2^{n - 1} = 20

log(2^{n - 1}) = log20

(n - 1).log2 = log(10.2) ---> (n - 1).log2 = log10 + log2 ---> (n - 1).(0,3) = 1 + 0,3 --->

n - 1 = 1,3/0,3 ---> n - 1 = 13/3 ---> n = 1 + 13/3 ---> n = 1 + 12/3 + 1/3 ---> 5 + 1/3

n = 5 anos + 1/3 de ano = 5 anos + 4/12 ano = 5 anos + 4 meses

n não coincide com o tempo

Veja que,para t = 0,teremos x doses(Qt. de doses iniciais)

mas essa situação é satisfeita para n = 1

para t = 1 ano,teremos o dobro de doses:2x

mas 2x corresponde ao a2(2º termo da pg)

Logo,o tempo em anos é dado por n-1

n = 1,6/0,3

n=16/3 => n=5 + 1/3

t = 5 + 1/3 - 1

t = 4 + 1/3(Quatro anos e 1/3 de ano,correspondente a 4 meses)