Calcular o tamanho do segmento descrito abaixo

Considere A0 = R no plano complexo. Segue que A(k) = Rw^k, com w = cis(2pi/2n+1) e B = -R. BA(k) = Rw^k - (-R) = R(w^k + 1) => (vou usar sin pra poupar meu tempo)
[latex]|BA(k)| = R\sqrt{\left(\cos(\frac{2\pi k}{2n+1}) + 1\right)^2 + \sin^2(\frac{2\pi k}{2n+1})} = R\sqrt{2(1 + \cos(\frac{2\pi k}{2n+1}))} = 2R|\cos(\frac{\pi k}{2n+1})|[/latex]

Segue que o produto todo deve ser 

[latex]2^nR^n|\prod_{k=1}^n \cos(\frac{\pi k}{2n+1})|[/latex]

E eu passo o restante da questão pra provar que esse módulo é 2^-n.

Façamos o seguinte:

[latex]C = \prod_{k=1}^n \cos(\frac{\pi k}{2n+1}), ~ S = \prod_{k=1}^n \sin(\frac{\pi k}{2n+1}) \Rightarrow CS = \dfrac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n} \sin(\frac{2k\pi}{2n+1})[/latex]

(só apliquei o arco duplo no seno rs)

O argumento genérico no seno é de 2kpi/(2n+1) -> 2pi/(2n+1), 4pi/(2n+1), 6pi/(2n+1), ..., (2npi - 2pi)/(2n+1), 2npi/(2n+1). Aqui meio que depende do n, mas cada "buraco" entre os arcos é preenchido do fim, por exemplo, sen(2npi/(2n+1)) = sen(pi/(2n+1)). O que importa é que novamente temos o produto dos senos!

[latex]CS = \frac{1}{2^n} S \therefore C = \frac{1}{2^n}[/latex]

Logo, o valor pedido é de x = 2^n R^n |1/2^n| = R^n.

Lipo_f escreveu:Considere A0 = R no plano complexo. Segue que A(k) = Rw^k, com w = cis(2pi/2n+1) e B = -R. BA(k) = Rw^k - (-R) = R(w^k + 1) => (vou usar sin pra poupar meu tempo)
[latex]|BA(k)| = R\sqrt{\left(\cos(\frac{2\pi k}{2n+1}) + 1\right)^2 + \sin^2(\frac{2\pi k}{2n+1})} = R\sqrt{2(1 + \cos(\frac{2\pi k}{2n+1}))} = 2R|\cos(\frac{\pi k}{2n+1})|[/latex]

Segue que o produto todo deve ser 

[latex]2^nR^n|\prod_{k=1}^n \cos(\frac{\pi k}{2n+1})|[/latex]

E eu passo o restante da questão pra provar que esse módulo é 2^-n.

Façamos o seguinte:

[latex]C = \prod_{k=1}^n \cos(\frac{\pi k}{2n+1}), ~ S = \prod_{k=1}^n \sin(\frac{\pi k}{2n+1}) \Rightarrow CS = \dfrac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n} \sin(\frac{2k\pi}{2n+1})[/latex]

(só apliquei o arco duplo no seno rs)

O argumento genérico no seno é de 2kpi/(2n+1) -> 2pi/(2n+1), 4pi/(2n+1), 6pi/(2n+1), ..., (2npi - 2pi)/(2n+1), 2npi/(2n+1). Aqui meio que depende do n, mas cada "buraco" entre os arcos é preenchido do fim, por exemplo, sen(2npi/(2n+1)) = sen(pi/(2n+1)). O que importa é que novamente temos o produto dos senos!

[latex]CS = \frac{1}{2^n} S \therefore C = \frac{1}{2^n}[/latex]

Logo, o valor pedido é de x = 2^n R^n |1/2^n| = R^n.

Grato,,

Outra solução (que no fundo é a mesma)

Seja \(\omega = \cos \theta + i \sin \theta\), \(\theta = \dfrac{2 \pi}{2n+1}\), como na solução do Lipo_f.  Dessa forma, cada segmento \(BA_k\) tem medida:

\(BA_k = |\omega^kR + R| = R |\omega^k + 1| \implies \)

\( BA_1 \cdot BA_2 \cdots BA_n = R^n |(\omega+1)(\omega^2 + 1) \cdots (\omega^n+1)|\)

O ponto aqui é que \(1, \omega, \omega^2, \cdots, \omega^{2n}\) são raízes de \(p(x) = x^{2n+1}-1\). Logo

\(p(x) = (x-1)(x-\omega)(x- \omega^2) \cdots (x-\omega^{2n})\)

Como queremos o produto até o termo n apenas, notamos que \(\omega^{2n+1} = 1\) implica que:
\(\omega^{n+1} = 1/ \omega^{n}\)
\(\omega^{n+2} = 1/ \omega^{n-1}\)
\(\omega^{n+3} = 1/\omega^{n-2}\)
...
\(\omega^{2n} = 1/\omega\)

Logo:
\( p(x) = (x-1)(x-\omega)\cdots(x-\omega^n)\left( x- \dfrac1{\omega^n}\right) \left(x - \dfrac 1{\omega^{n-1}}\right) \cdots \left( x -  \dfrac 1 \omega\right)\)

\(p(x) = (x-1)(x-\omega) \cdots(x-\omega^n) \dfrac{(\omega^n x -1) (\omega^{n-1} x -1) \cdots (\omega x -1)}{\omega^n \cdot \omega^{n-1} \cdots \omega^1}\)

Portanto, temos:
\(p(-1) = -2\dfrac{ \left [(-\omega-1)(-\omega^2 -1) \cdots (-\omega^n - 1)\right]^2}{\omega^n \cdot \omega^{n-1} \cdots \omega^1} \implies\)

\( \dfrac{|p(-1)|}2 = |(\omega+1)(\omega^2 + 1) \cdots (\omega^n+1)|^2 = \left(\dfrac{BA_1 \cdot BA_2 \cdots BA_n}{R^n} \right)^2 \implies\)

\(BA_1 \cdot BA_2 \cdots BA_n = \sqrt{\dfrac{|p(-1)|}2} \cdot  R^n = R^n\)