Calcular o valor de AT na circunferência abaixo

por **petras** Sex 21 Jun 2024, 14:47

Na figura se PQ = r = 1m e R = 2r.
Calcular AT

Resposta::

Calcular o valor de AT na circunferência abaixo Capa11

por Lipo_f Sex 21 Jun 2024, 15:19

A solução que penso talvez não seja das melhores, mas funciona rs.
No PAG, AP = √(3²-1²) = 2√2, segue que cos(APG) = 2√2/3 e sen(APG) = 1/3. No GPT, PT = √(3²-2²) = √5, também cos(GPT) = √5/3 e sen(GPT) = 2/3. Por fim, no APT, sei que cos(APT) = cos(APG + GPT) = 2√2/3 . √5/3 - 1/3 . 2/3 = 2(√10 - 1)/9, logo AP² = 8 + 5 - 2 . 2√2 . √5 . 2(√10 - 1)/9 = (37 + 8√10)/9. No numerador:
37 + 8√10 = 32 + 8√10 + 5 = (4√2)² + 2(4√2)(√5) + (√5)² = (4√2 + √5)², logo AT = (4√2 + √5)/3. Por algum motivo escreveram como 2√8, mas é isso :)

por **petras** Sex 21 Jun 2024, 18:36

Lipo_f escreveu:A solução que penso talvez não seja das melhores, mas funciona rs.
No PAG, AP = √(3²-1²) = 2√2, segue que cos(APG) = 2√2/3 e sen(APG) = 1/3. No GPT, PT = √(3²-2²) = √5, também cos(GPT) = √5/3 e sen(GPT) = 2/3. Por fim, no APT, sei que cos(APT) = cos(APG + GPT) = 2√2/3 . √5/3 - 1/3 . 2/3 = 2(√10 - 1)/9, logo AP² = 8 + 5 - 2 . 2√2 . √5 . 2(√10 - 1)/9 = (37 + 8√10)/9. No numerador:
37 + 8√10 = 32 + 8√10 + 5 = (4√2)² + 2(4√2)(√5) + (√5)² = (4√2 + √5)², logo AT = (4√2 + √5)/3. Por algum motivo escreveram como 2√8, mas é isso

Muito bom...grato

por **Medeiros** Sáb 22 Jun 2024, 02:34

Outro modo.

Pitágoras no triângulo PTG -----> PT = √5
Pitágoras no triângulo PAG -----> PA = 2√2

Teor. Ptolomeu no quadrilátero cíclico PAGT:
AT.PG = GT.AP + AG.PT
AT.3 = 2.2√2 + 1.√5
AT = (4√2 + √5)/3

por **petras** Sáb 22 Jun 2024, 13:45

Medeiros escreveu:Outro modo.

Pitágoras no triângulo PTG -----> PT = √5
Pitágoras no triângulo PAG -----> PA = 2√2

Teor. Ptolomeu no quadrilátero cíclico PAGT:
AT.PG = GT.AP + AG.PT
AT.3 = 2.2√2 + 1.√5
AT = (4√2 + √5)/3

Grato Medeiros