Calcular MQ na circunferência abaixo

por **petras** Sáb 22 Jun 2024, 14:05

Na figura se RN = 5m, MB = 4m e RN∥AB.
Calcular MQ.
[latex]\angle RMN = 90^o [/latex]

Resposta::

Calcular MQ na circunferência abaixo Capa13

por **Elcioschin** Sáb 22 Jun 2024, 15:07

Uma figura para ajudar:

Calcular MQ na circunferência abaixo Acirct10

por **petras** Dom 23 Jun 2024, 16:14

Grato mas ainda nao saiu a solução...

por DaoSeek Dom 23 Jun 2024, 19:56

Faltou informação no enunciado da questão.

Pra ver isso, seja r o raio do círculo e seja H a projeção de N sobre o segmento AB.

Podemos calcular as medidas de AM, BM e MN em função de r.

De fato, BM = 4 já foi fornecido. Daí AB = 2r - 4.

Pelo Teorema de Pitágoras podemos calcular o comprimento NH (que é a distancia entre as paralelas AB e RN), obtendo \( NH = \sqrt{r^2 - \dfrac{25}{4}}\)

O trapézio ABNR é isósceles, o que implica que HB = (2r - 5)/2. Logo, MH = 4 - (2r - 5)/2 = 13/2 - r
Pelo teorema de pitágoras em MNH temos

\( MN = \sqrt{ \left( r^2 - \dfrac{25}4\right) + \left( \dfrac{13}2 - r\right)^2}\)

\( MN = \sqrt{2r^2 - 13r + 32}\)

Logo, usando que AM.BM = MN.QN obtemos:

\( QN = \dfrac{\sqrt{2r^2 - 13r + 32}}{4(2r-4)}\)

Assim, existem respostas diferentes a depender do valor de r. (Posso ter feito alguma conta errada porque não conferi, a princípio caso o problema estivesse bem formulado, o lado direito da igualdade não dependeria de r. Isto é, os "r's" seriam cancelados)

Você tem razão...fui atrás do desenho original e consta que o ângulo RMN é de 90⁰

por **petras** Seg 24 Jun 2024, 20:26

[latex]\\ MR^2+MN^2=AM^2+BM^2=(2r-4)^2+ 4^2 =4r^2-16r+16+16\\ \therefore MR^2+MN^2=4r^2-16r+32(I)\\ \triangle MRN: 5^2=MR^2+MN^2=25(II)\\ De(I): 4r^2-16r+32=25 \implies 4r^2-16r+7=0\\ \therefore \cancel{r=\frac{1}{2}} \vee r=\frac{7}{2} \implies 2r=7\\ AM=2.\frac{7}{2}-4=3\\ AG=GH = \frac{7-5}{2}=1 \implies GM=3-1=2\\ MH=4-1=3\\ \triangle MHN: h^2=MN^2-3^2=MN^2-9\\ \triangle RGM: h^2=MR^2 -2^2=MR^2-4 \\ Igualando~ h^2: MN^2-MR^2=5(III) \\De(II): 2MR^2=30 \implies MN^2=15 \therefore MN=\sqrt{15}\\ MQ.MN=AM.BM \implies MQ.MN=3.4=12\\ \therefore MQ=\frac{12}{\sqrt{15}}=\frac{12\sqrt15}{15}=\boxed{\frac{4\sqrt{15}}{5}} [/latex]