Operações Algébricas - Fatoração

por Luan, o Rocha Qui 26 Set 2024, 11:08

Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

56) (IMO Shortlist-71) Sabendo que o sistema [latex]\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 \\x^3+y^3+z^3=15 \\x^4+y^4+z^4=35\end{matrix}\right.[latex], possui uma solução x, y, z para a qual [latex]x^2+y^2+z^2<10[latex], determine o valor de [latex]x^5+y^5+z^5[latex].

Gabarito:

Tem como resolver essa questão sem usar polinômios simétricos?

por **Giovana Martins** Sáb 28 Set 2024, 07:57

Não consigo imaginar uma solução para este problema sem que tenhamos que lançar mão dos polinômios simétricos. Penso que problemas tipo este são pensados para serem resolvidos desta forma. Praticamente todos os exercícios que vi sobre este problema eram resolvidos via polinômios simétricos. Alguns poucos resolvia-se usando fatorações tão somente.

Do condicionante do problema, seja x² + y² + z² = k, tal que k < 10.

Seja o produto notável adiante:

\[ \mathrm{(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(xy+xz+yz)}\]

A partir de manipulações algébricas chega-se em:

\[ \mathrm{xy+xz+yz=\frac{9-k}{2}}\]

Novamente, seja o produto notável adiante:

\[ \mathrm{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)}\]

A partir de manipulações algébricas chega-se em:

\[ \mathrm{xyz=\frac{19-3k}{2}}\]

Pela teoria acerca dos polinômios simétricos, genericamente, podemos escrever:

\[ \mathrm{x^{n}+y^{n}+z^{n}=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+xz+yz)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})}\]

Para n = 4:

\[ \mathrm{x^{4}+y^{4}+z^{4}=(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(xy+xz+yz)(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz(x+y+z)}\]

\[ \mathrm{35=3\cdot 15-\left ( \frac{9-k}{2} \right )\cdot k+\left ( \frac{19-3k}{2} \right )\cdot 3\ \therefore\ k=\left\{7,11 \right\}}\]

Note que x² + y² + z² < 10, logo, k = 11 não convém. Assim, xy + xz + yz = 1 e xyz = - 1.

Para n = 5:

\[ \mathrm{x^{5}+y^{5}+z^{5}=(x+y+z)(x^{4}+y^{4}+z^{4})-(xy+xz+yz)(x^{3}+y^{3}+z^{3})+xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\]

\[ \mathrm{x^{5}+y^{5}+z^{5}=3\cdot 35-1\cdot 15+(-1)\cdot 7\ \therefore\ \boxed{\mathrm{x^5+y^5+z^5=83}}}\]

Nota: quanto aos produtos notáveis enunciados e quanto a teoria acerca dos polinômios simétricos citados ao longo da resolução, eu usei como referência bibliográfica o livro Tópicos de Matemática: IME - ITA Olimpíadas Volume 1 dos autores Carlos A. Gomes e José Maria Gomes.

por Luan, o Rocha Sáb 28 Set 2024, 09:34

Giovana Martins escreveu:
Não consigo imaginar uma solução para este problema sem que tenhamos que lançar mão dos polinômios simétricos. Penso que problemas tipo este são pensados para serem resolvidos desta forma. Praticamente todos os exercícios que vi sobre este problema eram resolvidos via polinômios simétricos. Alguns poucos resolvia-se usando fatorações tão somente.

Do condicionante do problema, seja x² + y² + z² = k, tal que k < 10.

Seja o produto notável adiante:

\[ \mathrm{(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(xy+xz+yz)}\]

A partir de manipulações algébricas chega-se em:

\[ \mathrm{xy+xz+yz=\frac{9-k}{2}}\]

Novamente, seja o produto notável adiante:

\[ \mathrm{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)}\]

A partir de manipulações algébricas chega-se em:

\[ \mathrm{xyz=\frac{19-3k}{2}}\]

Pela teoria acerca dos polinômios simétricos, genericamente, podemos escrever:

\[ \mathrm{x^{n}+y^{n}+z^{n}=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+xz+yz)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})}\]

Para n = 4:

\[ \mathrm{x^{4}+y^{4}+z^{4}=(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(xy+xz+yz)(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz(x+y+z)}\]
\[ \mathrm{35=3\cdot 15-\left ( \frac{9-k}{2} \right )\cdot k+\left ( \frac{19-3k}{2} \right )\cdot 3\ \therefore\ k=\left\{7,11 \right\}}\]

Note que x² + y² + z² < 10, logo, k = 11 não convém. Assim, xy + xz + yz = 1 e xyz = - 1.

Para n = 5:

\[ \mathrm{x^{5}+y^{5}+z^{5}=(x+y+z)(x^{4}+y^{4}+z^{4})-(xy+xz+yz)(x^{3}+y^{3}+z^{3})+xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\]
\[ \mathrm{x^{5}+y^{5}+z^{5}=3\cdot 35-1\cdot 15+(-1)\cdot 7\ \therefore\ \boxed{\mathrm{x^5+y^5+z^5=83}}}\]

Nota: quanto aos produtos notáveis enunciados e quanto a teoria acerca dos polinômios simétricos citados ao longo da resolução, eu usei como referência bibliográfica o livro Tópicos de Matemática: IME - ITA Olimpíadas Volume 1 dos autores Carlos A. Gomes e José Maria Gomes.