Operações Algébricas - Fatoração

por Luan, o Rocha Qui 26 Set 2024, 15:47

Elementos da Matemática. Vol
Capítulo 6 - Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

58) Dado que [latex]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3[latex], prove que para todo número natural n:
[latex]a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}[latex]

Prova:

[latex]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3[latex]

[latex]a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+c^3+3(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+2abc)[latex]

[latex]0=0+3[b(a^2+ab+ac+bc)+c(a^2+ab+ac+bc)][latex]

[latex]0=(b+c)(a^2+ab+ac+bc)[latex]

[latex]0=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)][latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]0=(a+b)(b+c)(a+c)[latex] [latex]\Leftrightarrow[latex] [latex](a+b)=0[latex] ou [latex](a+c)=0[latex] ou [latex](b+c)=0[latex]

Pegando o caso onde [latex](a+b)=0[latex]:

[latex](a+b)=0\Leftrightarrow a=-b[latex]

[latex]a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}\Leftrightarrow(-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b+b+c)^{2n+1}[latex]

Como o expoente [latex]2n+1[latex] é ímpar [latex]\forall n[latex], [latex]n \in \mathbb{N}[latex], temos que [latex](-b)^{2n+1}=(-1)^{2n+1}b^{2n+1}=(-1)b^{2n+1}=-b^{2n+1}[latex]. Assim:

[latex](-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=-b^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b+b+c)^{2n+1}[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]c^{2n+1}=c^{2n+1}[latex]

Analogamente, prova-se para os casos [latex](a+c)=0[latex] e [latex](b+c)=0[latex].

Essa demonstração está correta ou falta acrescentar algo?

por **tales amaral** Sáb 28 Set 2024, 11:21

Tá legal a demonstração. Só recomendaria você usar somente um lado da equação, por exemplo, [latex] (-b)^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = c^{2n+1} = (0+c)^{2n+1} = (-b +b + c)^{2n+1} = (a+b+c)^{2n+1} [/latex]. O pessoal da banca pode ser meio chato com isso.

por Luan, o Rocha Sáb 28 Set 2024, 11:37

tales amaral escreveu:Tá legal a demonstração. Só recomendaria você usar somente um lado da equação, por exemplo, [latex] (-b)^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = c^{2n+1} = (0+c)^{2n+1} = (-b +b + c)^{2n+1} = (a+b+c)^{2n+1} [/latex]. O pessoal da banca pode ser meio chato com isso.

Obrigado pela dica!

por Conteúdo patrocinado

Operações Algébricas - Fatoração

Operações Algébricas - Fatoração

Re: Operações Algébricas - Fatoração

Re: Operações Algébricas - Fatoração

Re: Operações Algébricas - Fatoração

Um fórum livre e democrático.