Demonstração no triangulo retângulo usando vetores

por Caio02 Ontem à(s) 16:13

Use vetores para demonstrar que: no triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. (Mostre que ℎ 2 = mn)

por **Giovana Martins** Ontem à(s) 16:45

Seja, no sistema xCy, A(b,0), B(0,a) e C(0,0) tal que AB é a hipotenusa.

Agora, escrevamos os vetores adiante:

\[\mathrm{\overset{\to }{AB}=(b,-a)}\]

\[\mathrm{\overset{\to }{AC}=(b,0)}\]

\[\mathrm{\overset{\to }{BC}=(0,a)}\]

Para a projeção de AC sobre AB, tem-se:

\[\mathrm{\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{\overset{\to }{AC}\cdot \overset{\to }{AB}}{ \left|\overset{\to }{AB} \right|}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}}\]

Para a projeção de BC sobre AB, tem-se:

\[\mathrm{\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{\overset{\to }{BC}\cdot \overset{\to }{AB}}{ \left|\overset{\to }{AB} \right|}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}}\]

A área do triângulo ABC relativa à hipotenusa é dada por:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2} \left|\overset{\to }{AB} \right|h}\]

Sendo h a altura do triângulo relativa à hipotenusa.

Assim:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2} h\sqrt{a^2+b^2}\ (i)}\]

Podemos escrever a expressão da área do triângulo em função dos seus catetos. Veja:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab\ (ii)}\]

Como (i) equivale a (ii), podemos escrever h em função do comprimento dos catetos. Veja:

\[\mathrm{h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\ (iii)}\]

Do produto entre as projeções obtidas anteriormente:

\[\mathrm{\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\ \therefore\ \sqrt{\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\ (iv)}\]

Deste modo, de (iii) e (iv):

\[\mathrm{\boxed{\mathrm{h^2=\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|}}}\]

por **Giovana Martins** Ontem à(s) 17:04

Caio, quando eu resolvi a questão não estava aparecendo a imagem. De qualquer modo, mesmo sem a imagem, creio que será possível entender o que eu fiz.

Do contrário, avise.

por Caio02 Ontem à(s) 18:02

Giovana Martins escreveu:
Caio, quando eu resolvi a questão não estava aparecendo a imagem. De qualquer modo, mesmo sem a imagem, creio que será possível entender o que eu fiz.

Do contrário, avise.

Olá! Perdão, mas ainda não estou conseguindo compreender. Você poderia resolver de acordo com a imagem, por favor?

por **Giovana Martins** Ontem à(s) 18:31

Sem problemas. Veja se agora é possível compreender. Do contrário, é só falar.

Seja, no sistema xCy, A(b,0), B(0,c) e C(0,0) tal que AB é a hipotenusa.

Agora, escrevamos os vetores adiante:

\[\mathrm{\overset{\to }{AB}=(b,-c)}\]

\[\mathrm{\overset{\to }{AC}=(b,0)}\]

\[\mathrm{\overset{\to }{BC}=(0,c)}\]

Para a projeção de AC sobre AB, tem-se:

\[\mathrm{\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{\overset{\to }{AC}\cdot \overset{\to }{AB}}{ \left|\overset{\to }{AB} \right|}=\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}=m}\]

Para a projeção de BC sobre AB, tem-se:

\[\mathrm{\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{\overset{\to }{BC}\cdot \overset{\to }{AB}}{ \left|\overset{\to }{AB} \right|}=\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}=n}\]

A área do triângulo ABC relativa à hipotenusa é dada por:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2} \left|\overset{\to }{AB} \right|h}\]

Sendo h a altura do triângulo relativa à hipotenusa.

Assim:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2} h\sqrt{b^2+c^2}\ (i)}\]

Podemos escrever a expressão da área do triângulo em função dos seus catetos. Veja:

\[\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}bc\ (ii)}\]

Como (i) equivale a (ii), podemos escrever h em função do comprimento dos catetos. Veja:

\[\mathrm{h=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\ (iii)}\]

Do produto entre as projeções obtidas anteriormente:

\[\mathrm{\left| p_{\overset{\to }{AC}\to \overset{\to }{AB}}\right|\left|p_{\overset{\to }{BC}\to \overset{\to }{AB}}\right|=\frac{b^2c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\ \therefore\ \sqrt{mn}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\ (iv)}\]

Deste modo, de (iii) e (iv):

\[\mathrm{\boxed{\mathrm{h^2=mn}}}\]