Demonstração - Vetores, Produto Escalar

Olá!

  Quem puder ajudar, agradeço.
  Obs.: não tenho gabarito. Trata-se de exercício de demonstração.

Considerando: uma Base E ortonormal, u e v vetores:

Prove que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo. (Sugestão: prove e use o fato: < u , v > = 0 ↔ ║u + v║ = ║u − v║).




Grato.







.

Pessoal, creio que saiu rsrsrs
Demonstrando a sugestão dada no enunciado:

Dados dois vetores u, v ∈ V³, temos:

se u ou v são nulos, fica trivial. Se {u,v} LD (ou seja, paralelos), ang(u, v) ≠ 90° → <u, v> ≠ 0.
Agora, se {u, v} LI:

    note que ∥u + v∥² = <(u + v), (u + v)> = <(u + v), u> + <(u + v), v> = <u, u> + <v, u> + <u, v> + <v, v> = ∥u∥² + 2∙<u, v> + ∥v∥² (I)

    analogamente, ∥u − v∥² = ∥u∥² − 2∙<u, v> + ∥v∥² (II)


Para que ∥u + v∥² = ∥u − v∥² devemos ter (I) = (II). Daí,

(I) = (II) ↔ ∥u∥² + 2∙<u, v> + ∥v∥² = ∥u∥² − 2∙<u, v> + ∥v∥² ↔ <u, v> 2∙<u, v> = 0 ↔ <u, v> = 0. (*)


Considere agora um paralelogramo ABCD, onde u = AB e v = BC.
Temos as diagonais AC = u + v e DB = u − v.

De (*), as diagonais são iguais se, e somente se <u, v> = 0. Ou seja, ang(u, v) = 90°.
Analogamente mostra-se que ang(AD, DC) = ang(DC, CB) = ang(DA, AB) = 90°.

Portanto, tal paralelograma tem as diagonais iguais se, e somente se, ele é um retângulo.







Abraços