Pirâmide

Em uma pirâmide regular cujo número de faces é ímpar, a área da superfície lateral é n vezes a área da base. Calcular a medida do ângulo formado por duas faces laterais opostas.

Se o número de faces é ímpar, a base da pirâmide, que é polígono regular, tem 2k lados (não necessariamente 2k = n).
A área da base é formada por 2k triângulos de altura a (apótema) e base L (lado da base) => Ab = 2k . 1/2 . aL = kaL.
Cada face lateral é um triângulo de base L e altura H (seguindo o plano da face). Sendo 2k faces laterais, Alat = 2k . 1/2 . HL = kHL.
Se Alat = nAb => kHL = nkaL <=> H = na => a/H = 1/n.
O ângulo entre duas faces laterais vem de uma secção plana passando por duas alturas das faces laterais, de forma a ter um triângulo isósceles de base 2a e lados iguais H. Se é 2x o ângulo entre essas superfícies, sen(x) = a/H = 1/n => x = arcsen(1/n) e o ângulo entre as faces é 2x = 2arcsen(1/n). Acredito que seja isso.

Sejam:

A, B, C ........ N os vértices da base e V o vértice do topo da pirâmide

N = número de lados da base, de centro O ---> N = 2.k + 1 (ímpar)
L = lado da aresta da base
H = altura da cada face
h = altura da pirâmide
M o ponto médio de AB (AM = BM = L/2)
a = apótema da base (a = OM)
θ = ângulo OÂB = O^BC = ...... O^NA
r = raio do círculo circunscrito: r = OA = OB = .... = ON

No ∆ VOM ---> OM² = MV² - OV² ---> a² = H² - h² 

No ∆ AOM ---> OM² = OA² - AM² ---> a² = r² - (L/2)²

No ∆ AMV ---> AV² = MV² + AM² ---> AV² = H² + (L/2)²  

AÔB = 360º/N ---> θ = 360º/(2.k + 1) ---> ângulos possíveis:

k = 1 ---> θ = 120º
k = 2 ---> θ = 72º
k = 4 ---> θ = 40º
k = 7 ---> θ = 24º

Área de AÔB --> s = OA.OB.senθ/2 ---> s = r².senθ/2 
Área da base ---> Sb = N.s ---> Sb = (2.k + 1).r².senθ/2 

Área de VAB ---> s' = AB.MV/2 ---> s' = L.H/2
Área lateral ---> Sl = N.s' ---> Sl = N.L.H/2

Enunciado ---> Sl = n.Sb

Tente completar