Operações Algébricas - Fatoração

Luan, o Rocha escreveu:Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.

Resolução:

Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex]

[latex](a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=900(a^2-b^2)[latex]

[latex](a^2)^3+(b^2)^3=900(a+b)(a-b)[latex]

[latex](a^3)^2+(b^3)^2=900(a+b)(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3+b^3)(a^3-b^3)=900(a+b)(a-b)[latex]    [latex](i)[latex]

Equação 2: [latex](a^2+ab+b^2)=45[latex]

[latex](a-b) (a^2+ab+b^2)=45(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3-b^3)=45(a-b)[latex]    [latex](ii)[latex]

(ii) em (i):

[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex]

[latex]a^3+b^3=20(a+b)[latex]

[latex](a+b)(a^2-ab+b^2)=20(a+b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]a^2-ab+b^2=20[latex]    [latex](iii)[latex]

Subitraindo a equação 2 por (iii):

[latex](a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=45-20[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]2ab=25[latex]

Colegas, conseguem apresentar algum outro modo de resolver essa questão?