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Operações Algébricas - Fatoração

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Resolvido Operações Algébricas - Fatoração

Mensagem por Luan, o Rocha Qua 25 Set 2024, 14:00

Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.

Resolução:

Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex]

[latex](a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=900(a^2-b^2)[latex]
[latex](a^2)^3+(b^2)^3=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex](a^3)^2+(b^3)^2=900(a+b)(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3+b^3)(a^3-b^3)=900(a+b)(a-b)[latex]    [latex](i)[latex]


Equação 2: [latex](a^2+ab+b^2)=45[latex]

[latex](a-b) (a^2+ab+b^2)=45(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3-b^3)=45(a-b)[latex]    [latex](ii)[latex]

(ii) em (i):

[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex]a^3+b^3=20(a+b)[latex]
[latex](a+b)(a^2-ab+b^2)=20(a+b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]a^2-ab+b^2=20[latex]    [latex](iii)[latex]

Subitraindo a equação 2 por (iii):

[latex](a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=45-20[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]2ab=25[latex]



Colegas, conseguem apresentar algum outro modo de resolver essa questão?


Última edição por Luan, o Rocha em Qua 25 Set 2024, 17:17, editado 1 vez(es)
Luan, o Rocha
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Resolvido Re: Operações Algébricas - Fatoração

Mensagem por fantecele Qua 25 Set 2024, 17:02

Basta elevar a segunda equação ao quadrado, pois

(a² + ab + b²)² = a^4 + a²b² + b^4 + 2ab(a² + ab + b²)

Substituindo os valores dado no enunciado, vc chega no resultado desejado.

fantecele
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Resolvido Re: Operações Algébricas - Fatoração

Mensagem por tales amaral Qua 25 Set 2024, 17:05

Luan, o Rocha escreveu:Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.

Resolução:

Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex]

[latex](a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=900(a^2-b^2)[latex]
[latex](a^2)^3+(b^2)^3=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex](a^3)^2+(b^3)^2=900(a+b)(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3+b^3)(a^3-b^3)=900(a+b)(a-b)[latex]    [latex](i)[latex]


Equação 2: [latex](a^2+ab+b^2)=45[latex]

[latex](a-b) (a^2+ab+b^2)=45(a-b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex](a^3-b^3)=45(a-b)[latex]    [latex](ii)[latex]

(ii) em (i):

[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex]a^3+b^3=20(a+b)[latex]
[latex](a+b)(a^2-ab+b^2)=20(a+b)[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]a^2-ab+b^2=20[latex]    [latex](iii)[latex]

Subitraindo a equação 2 por (iii):

[latex](a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=45-20[latex]

[latex]\therefore[latex]

[latex]2ab=25[latex]



Colegas, conseguem apresentar algum outro modo de resolver essa questão?
a²+ab+b²=45
a²+b² = 45-ab (1)
a⁴+a²b²+b⁴=900
(a⁴+2a²b²+b⁴) - a²b²=900
(a²+b²)² -a²b²= 900 (2)

(1)->(2)

(45-ab)²  -a²b²= 900
(45-2ab)45 = 900
45-2ab = 20
2ab = 25

____________________________________________
Licenciatura em Matemática (2022 - ????)
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https://talesamaral.github.io/

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Resolvido Re: Operações Algébricas - Fatoração

Mensagem por Luan, o Rocha Qua 25 Set 2024, 17:16

Valeu galera.
Apresentaram resoluções bem mais simples e rápidas. Obrigado!
Luan, o Rocha
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Resolvido Re: Operações Algébricas - Fatoração

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