Operações Algébricas - Fatoração
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Operações Algébricas - Fatoração
Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração
52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.
Resolução:
Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex]
[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex]
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração
52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.
Resolução:
Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex]
[latex](a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=900(a^2-b^2)[latex]
[latex](a^2)^3+(b^2)^3=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex](a^3)^2+(b^3)^2=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex]\therefore[latex]
[latex](a^3+b^3)(a^3-b^3)=900(a+b)(a-b)[latex] [latex](i)[latex]
Equação 2: [latex](a^2+ab+b^2)=45[latex]
[latex](a-b) (a^2+ab+b^2)=45(a-b)[latex]
[latex]\therefore[latex]
[latex](a^3-b^3)=45(a-b)[latex] [latex](ii)[latex]
(ii) em (i):
[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex]
[latex]a^3+b^3=20(a+b)[latex]
[latex](a+b)(a^2-ab+b^2)=20(a+b)[latex]
[latex]\therefore[latex]
[latex]a^2-ab+b^2=20[latex] [latex](iii)[latex]
Subitraindo a equação 2 por (iii):
[latex](a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=45-20[latex]
[latex]\therefore[latex]
[latex]2ab=25[latex]
Colegas, conseguem apresentar algum outro modo de resolver essa questão?
Última edição por Luan, o Rocha em Qua 25 Set 2024, 17:17, editado 1 vez(es)
Luan, o Rocha- Iniciante
- Mensagens : 32
Data de inscrição : 04/04/2024
Re: Operações Algébricas - Fatoração
Basta elevar a segunda equação ao quadrado, pois
(a² + ab + b²)² = a^4 + a²b² + b^4 + 2ab(a² + ab + b²)
Substituindo os valores dado no enunciado, vc chega no resultado desejado.
(a² + ab + b²)² = a^4 + a²b² + b^4 + 2ab(a² + ab + b²)
Substituindo os valores dado no enunciado, vc chega no resultado desejado.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1225
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Luan, o Rocha gosta desta mensagem
Re: Operações Algébricas - Fatoração
a²+ab+b²=45Luan, o Rocha escreveu:Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração
52) (Online Math Open-12) Sejam a e b números reais que satisfazem: a⁴+a²b²+b⁴=900 e a²+ab+b²=45. Determine o valor de 2ab.
Resolução:
Equação 1: [latex](a^4+a^2b^2+b^4)=900[latex][latex](a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=900(a^2-b^2)[latex][latex](a^2)^3+(b^2)^3=900(a+b)(a-b)[latex][latex](a^3)^2+(b^3)^2=900(a+b)(a-b)[latex][latex]\therefore[latex][latex](a^3+b^3)(a^3-b^3)=900(a+b)(a-b)[latex] [latex](i)[latex]Equação 2: [latex](a^2+ab+b^2)=45[latex][latex](a-b) (a^2+ab+b^2)=45(a-b)[latex][latex]\therefore[latex][latex](a^3-b^3)=45(a-b)[latex] [latex](ii)[latex](ii) em (i):
[latex](a^3+b^3)45(a-b)=900(a+b)(a-b)[latex][latex]a^3+b^3=20(a+b)[latex][latex](a+b)(a^2-ab+b^2)=20(a+b)[latex][latex]\therefore[latex][latex]a^2-ab+b^2=20[latex] [latex](iii)[latex]Subitraindo a equação 2 por (iii):[latex](a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=45-20[latex][latex]\therefore[latex][latex]2ab=25[latex]Colegas, conseguem apresentar algum outro modo de resolver essa questão?
a²+b² = 45-ab (1)
a⁴+a²b²+b⁴=900
(a⁴+2a²b²+b⁴) - a²b²=900
(a²+b²)² -a²b²= 900 (2)
(1)->(2)
(45-ab)² -a²b²= 900
(45-2ab)45 = 900
45-2ab = 20
2ab = 25
____________________________________________
Licenciatura em Matemática (2022 - ????)
Luan, o Rocha gosta desta mensagem
Re: Operações Algébricas - Fatoração
Valeu galera.
Apresentaram resoluções bem mais simples e rápidas. Obrigado!
Apresentaram resoluções bem mais simples e rápidas. Obrigado!
Luan, o Rocha- Iniciante
- Mensagens : 32
Data de inscrição : 04/04/2024
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