Operações Algébricas - Fatoração

por Luan, o Rocha Ter 24 Set 2024, 19:57

Elementos da Matemática. Vol 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - Fatoração

47) (3ª Lista Treinamento Cone Sul-03) Sejam a, b, c e d números reais tais que a²+b²=c²+d²=1 e ac+bd=0. Determine o valor de ab+cd.

Gabarito:

por **Giovana Martins** Ter 24 Set 2024, 23:26

\[\mathrm{ac+bd=0\to \frac{a}{b}=-\frac{d}{c}}\]

Seja a última igualdade igual a t, com t pertencente aos reais. Assim, a = bt e d = - ct. Logo:

\[\mathrm{a^2+b^2=1\to b^2(t^2+1)=1\ \therefore\ b^2=\frac{1}{t^2+1}\ (i)}\]

\[\mathrm{c^2+d^2=1\to c^2(t^2+1)=1\ \therefore\ c^2=\frac{1}{t^2+1}\ (ii)}\]

De (i) e (ii):

\[\mathrm{b^2-c^2=0\ \therefore\ ab+cd=b^2t-c^2t\to ab+cd=t(b^2-c^2)\ \therefore\ \boxed{\mathrm{ab+cd=0}}}\]

por Luan, o Rocha Ter 24 Set 2024, 23:40

Giovana Martins escreveu:
\[\mathrm{ac+bd=0\to \frac{a}{b}=-\frac{d}{c}}\]

Seja a última igualdade igual a t, com t pertencente aos reais. Assim, a = bt e d = - ct. Logo:

\[\mathrm{a^2+b^2=1\to b^2(t^2+1)=1\ \therefore\ b^2=\frac{1}{t^2+1}\ (i)}\]

\[\mathrm{c^2+d^2=1\to c^2(t^2+1)=1\ \therefore\ c^2=\frac{1}{t^2+1}\ (ii)}\]

De (i) e (ii):

\[\mathrm{b^2-c^2=0\ \therefore\ ab+cd=b^2t-c^2t\to ab+cd=t(b^2-c^2)\ \therefore\ \boxed{\mathrm{ab+cd=0}}}\]

Valeu, Giovana. Você é fera demais!

por **Giovana Martins** Ter 24 Set 2024, 23:50

Luan, o Rocha escreveu:
Giovana Martins escreveu:
\[\mathrm{ac+bd=0\to \frac{a}{b}=-\frac{d}{c}}\]

Seja a última igualdade igual a t, com t pertencente aos reais. Assim, a = bt e d = - ct. Logo:

\[\mathrm{a^2+b^2=1\to b^2(t^2+1)=1\ \therefore\ b^2=\frac{1}{t^2+1}\ (i)}\]

\[\mathrm{c^2+d^2=1\to c^2(t^2+1)=1\ \therefore\ c^2=\frac{1}{t^2+1}\ (ii)}\]

De (i) e (ii):

\[\mathrm{b^2-c^2=0\ \therefore\ ab+cd=b^2t-c^2t\to ab+cd=t(b^2-c^2)\ \therefore\ \boxed{\mathrm{ab+cd=0}}}\]
Valeu, Giovana. Você é fera demais!

Obrigada!