Operações Algébricas - Fatoração

Gabarito:

Giovana Martins escreveu:

\[\mathrm{\sum_{k=1}^{n}\left [ k(a-k^{2})^{2}x_k \right ]=a^{2}\sum_{k=1}^{5}(kx_k)-2a\sum_{k=1}^{5}(k^{3}x_k)+\sum_{k=1}^{5}(k^{5}x_k)}\]

\[\mathrm{\sum_{k=1}^{n}\left [ k(a-k^{2})^{2}x_k \right ]=a^{2}\cdot a-2a\cdot a^{2}+a^{3}\ \therefore\ \sum_{k=1}^{n}\left [ k(a-k^{2})^{2}x_k \right ]=0}\]

Bom, como o somatório é nulo, vamos nos ater apenas ao fator a - k². Impondo a - k² = 0, obtemos os possíveis valores de a que anulam o fator. Veja:

Para k = {1, 2, 3, 4, 5}, veja que:

Para k = 1: a - 1 = 0, logo, a = 1;

Para k = 2: a - 4 = 0, logo, a = 4;

Para k = 3: a - 9 = 0, logo, a = 9;

Para k = 4: a - 16 = 0, logo, a = 16;

Para k = 5: a - 25 = 0, logo, a = 25.

Assim, a = {1, 4, 9, 16, 25}.

Observe que nesta primeira análise pouco importa os valores de k e x_k. Como temos um produto, se a - k² for nulo, isso já é o suficiente para que o somatório seja nulo.

Agora, vamos nos ater a soma adiante:

\[\mathrm{\sum_{k=1}^{n}\left [ k(a-k^{2})^{2}x_k \right ]=a^{2}\sum_{k=1}^{5}(kx_k)-2a\sum_{k=1}^{5}(k^{3}x_k)+\sum_{k=1}^{5}(k^{5}x_k)}\]

Observe que se fixarmos x_k = 0 e impusermos a = 0 o somatório também se anula. Observe, a partir da segunda linha da resolução que o somatório é nulo. Este é o motivo pelo qual eu fixo x_k = 0, pois do contrário, por mais que a fosse nulo, observe pelo somatório acima que a última parcela seria não nula caso x_k fosse diferente de zero.

Assim, a = 0 também é um possível valor, quando x_k = 0.

Deste modo, a = {0, 1, 4, 9, 16, 25}.

Nota: a meu ver, não há problemas em fixar x_k = 0, pois o próprio enunciado nos diz que x_k ≥ 0.

Acredito que seja isto.

Quanto à resolução postada no Art Problem Solving, eu também não entendi nada kkkkk.