Questão aref geometria analítica e sistema linear

Ha uma questão no aref que usa a seguinte propriedade : 
Seja um um sistema de equações 

A1x+b1y+c1=0
A2x+b2y+c2=0
A3x+b2y+c3=0

E diz que a condição necessária e suficiente para que estás retas passem em um mesmo ponto é que o determinante 3x3 formado por a1,b1 e c1 seja igual a zero, eu gostaria de saber o porquê ou a demonstração desta propriedade

Suponha que as três retas formem um triângulo: 

Propriedade:

A área deste triângulo pode ser calculada como a metade do determinante ∆ citado

Se as retas passam pelo mesmo ponto elas NÃO formam um triângulo.
Logo, a área do triângulo vale zero; isto significa que ∆ = 0

Olá,

A propriedade está incorreta, é uma condição necessária de fato, porém não é suficiente.

Ou seja:
(1) É verdade que se há interseção em um ponto, então o determinante é zero.
(2) Não é verdade que se o determinante é zero, então há interseção em um ponto.


Justificativa de (1):
Considere os sistemas:
\(\displaystyle  \textrm{Sistema A:} \left\{\begin{array}{rcl}
a_1 x + b_1 y + c_1 &=&0 \\
a_2 x + b_2 y + c_2 &=&0 \\
a_2 x + b_3 y + c_3 &=&0
\end{array} \right.  \qquad \qquad \textrm{Sistema B:} \left\{\begin{array}{rcl}
a_1 x + b_1 y + c_1z &=&0 \\
a_2 x + b_2 y + c_2z &=&0 \\
a_2 x + b_3 y + c_3z &=&0
\end{array} \right. \)
Se as retas possuem interseção, então o sistema A possui alguma solução \(x = x_0, y= y_0\) . Logo, o sistema B possui solução \(x = x_0, y = y_0, z = 1\). Isso significa que o sistema B tem infinitas soluções, pois \(x = y = z = 0\) também é uma solução. Logo, o determinante é zero.

Justificativa de (2):
As retas
x+y+1 = 0
x+y+2 = 0
x+y+3 = 0
São paralelas e distintas, logo nao há interseção. E o determinante da zero, pois temos duas colunas iguais. Assim, é possível ter determinante zero e não haver interseção.