UERJ - 2014

No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.


Preciso de uma resolução passo-a-passo!

Boa noite. Pensei assim:
a) Encontre as equações das retas AC e AB;
b) Com as retas, podemos relacionar as ordenadas e coordenadas de cada ponto P e Q;
c) Utilizando o que o enunciado informou sobre a abscissa de P ser igual a ordenada de Q, transformamos tudo para uma única variável;
d) Com os 3 pontos, calculamos a área e verificamos o que pode ser feito para que ela seja máxima.

a)  
[latex] reta \: AC: \begin{vmatrix} 0 & 1 &1 \\ 1& 0 &1 \\ x_p &y_p  &1 \end{vmatrix}=0\rightarrow y_p = 1-x_p \\
reta \: AB: \begin{vmatrix} 1 & 0 &1 \\ 2& 1 &1 \\ x_q &y_q  &1 \end{vmatrix}=0\rightarrow y_q = x_q-1 \\ [/latex]

b)
[latex] P = (x_p, y_p)=(x_p, 1-x_p) \\
Q=(x_q, y_q)=(x_q, x_q-1) [/latex]

c)
[latex] x_p=x_q-1 \therefore x_q=x_p+1 \\
\therefore Q=(x_p+1, x_p) [/latex]

d)
[latex] Area = \frac{\begin{Vmatrix} 1 &0  &1 \\ x_p& 1-x_p &1 \\ x_p+1 &x_p  &1 \end{Vmatrix}}{2}=\frac{|2x_p^2-2x_p|}{2}=|x_p^2-x_p| [/latex]
Obtemos uma função do segundo grau em módulo, ou seja, para fazer o seu gráfico basta espelharmos a parte negativa em relação ao eixo x. O ponto P varia entre A e C, logo, xp só pode assumir valores entre 0 e 1. Pelo gráfico, a área máxima ocorrerá no x vértice:
[latex] x_p = x_v= \frac{-b}{2a}=\frac{-(-1)}{2.1}=\frac{1}{2} \\
\therefore Area = |(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4} [/latex]

Leonardo Mariano escreveu:Boa noite. Pensei assim:
a) Encontre as equações das retas AC e AB;
b) Com as retas, podemos relacionar as ordenadas e coordenadas de cada ponto P e Q;
c) Utilizando o que o enunciado informou sobre a abscissa de P ser igual a ordenada de Q, transformamos tudo para uma única variável;
d) Com os 3 pontos, calculamos a área e verificamos o que pode ser feito para que ela seja máxima.

a)  
[latex] reta \: AC: \begin{vmatrix} 0 & 1 &1 \\ 1& 0 &1 \\ x_p &y_p  &1 \end{vmatrix}=0\rightarrow y_p = 1-x_p \\
reta \: AB: \begin{vmatrix} 1 & 0 &1 \\ 2& 1 &1 \\ x_q &y_q  &1 \end{vmatrix}=0\rightarrow y_q = x_q-1 \\ [/latex]

b)
[latex] P = (x_p, y_p)=(x_p, 1-x_p) \\
Q=(x_q, y_q)=(x_q, x_q-1) [/latex]

c)
[latex] x_p=x_q-1 \therefore x_q=x_p+1 \\
\therefore Q=(x_p+1, x_p) [/latex]

d)
[latex] Area = \frac{\begin{Vmatrix} 1 &0  &1 \\ x_p& 1-x_p &1 \\ x_p+1 &x_p  &1 \end{Vmatrix}}{2}=\frac{|2x_p^2-2x_p|}{2}=|x_p^2-x_p| [/latex]
Obtemos uma função do segundo grau em módulo, ou seja, para fazer o seu gráfico basta espelharmos a parte negativa em relação ao eixo x. O ponto P varia entre A e C, logo, xp só pode assumir valores entre 0 e 1. Pelo gráfico, a área máxima ocorrerá no x vértice:
[latex] x_p = x_v= \frac{-b}{2a}=\frac{-(-1)}{2.1}=\frac{1}{2} \\
\therefore Area = |(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4} [/latex]

Poderia explicar melhor os itens A e B?

O ponto P(x, y) está sobre o segmento AC, então para encontrar a relação entre a sua abscissa x e a ordenada y precisamos encontrar a equação da reta AC.
Uma forma de fazer isso é com determinantes: Uma condição para que 3 pontos estejam alinhados é que o determinante da matriz 3x3 com a primeira coluna sendo as abscissas, a segunda as ordenadas, e a terceira preenchida por valores 1, seja igual a 0. Isto foi feito para encontrar a equação da reta, por exemplo, a reta AC é y = 1 - x. Se o ponto P está sobre esta reta, a sua ordenada deve respeitar essa equação, logo: P = (x, 1 - x). Depois basta aplicar o mesmo com o ponto Q.

Leonardo Mariano escreveu:O ponto P(x, y) está sobre o segmento AC, então para encontrar a relação entre a sua abscissa x e a ordenada y precisamos encontrar a equação da reta AC.
Uma forma de fazer isso é com determinantes: Uma condição para que 3 pontos estejam alinhados é que o determinante da matriz 3x3 com a primeira coluna sendo as abscissas, a segunda as ordenadas, e a terceira preenchida por valores 1, seja igual a 0. Isto foi feito para encontrar a equação da reta, por exemplo, a reta AC é y = 1 - x. Se o ponto P está sobre esta reta, a sua ordenada deve respeitar essa equação, logo: P = (x, 1 - x). Depois basta aplicar o mesmo com o ponto Q.

Entendi. Muito obrigado pela ajuda! Achei que era uma questão difícil, mas não é tanto assim.