Lápis e canetas (UERJ, 2014)

(UERJ, 2014) Considere uma compra de lápis e canetas no valor total de R$ 29,00. O preço de cada lápis é R$1,00 e o de cada caneta é R$3,00.
A probabilidade de que se tenha comprado mais canetas do que lápis é igual a:

A) 20%
B) 50%
C) 75%
D) 80%

GABARITO: A) 20%
DÚVIDA: Com os dados, montei a seguinte expressão:

L + 3.C = 29 ---> são 10 possibilidades

_L - C
_2 - 9
_5 - 8
_8 - 7
11 - 6
15 - 5
17 - 4
20 - 3
23 - 2
26 - 1
29 - 0

p = 2/10 = 20/100 = 20%

Elcioschin escreveu:L + 3.C = 29 ---> são 10 possibilidades

_L - C
_2 - 9
_5 - 8
_8 - 7
11 - 6
15 - 5
17 - 4
20 - 3
23 - 2
26 - 1
29 - 0

p = 2/10 = 20/100 = 20%

Sim, professor, eu já havia visto essa resolução, mas queria saber o porquê de a minha não ter dado certo. Se é uma proporção, pouco importa quais são os valores absolutos que eu utilizo, desde que eu mantenha a constância.

29/4 < y < 29/3  ---> 7,25 < y < 9,67

Somente dois valores de y atendem: y = 8 e y = 9 --->
Isto aparece na minha solução (em vermelho)

Acontece que probabilidade é a relação entre o número de casos favoráveis (2) e o número total da casos
E 29/3 não é o número total de casos. O número total de casos é 10.

Elcioschin escreveu:29/4 < y < 29/3  ---> 7,25 < y < 9,67

Somente dois valores de y atendem: y = 8 e y = 9 --->
Isto aparece na minha solução (em vermelho)

Acontece que probabilidade é a relação entre o número de casos favoráveis (2) e o número total da casos
E 29/3 não é o número total de casos. O número total de casos é 10.

Esse erro se deu porque interpretei mal a função afim ou porque probabilidade não pode ser representada dessa maneira? Não sei, me parece que, nesse caso, usar a função é mais intuitivo; é errado?

Você considerou erradamente os intervalos ]0 , 29/4[ e ]29/4 , 29/3[

O que realmente interessa são os números inteiros destes intervalos.

Lucas4lmeida escreveu:(UERJ, 2014) Considere uma compra de lápis e canetas no valor total de R$ 29,00. O preço de cada lápis é R$1,00 e o de cada caneta é R$3,00.
A probabilidade de que se tenha comprado mais canetas do que lápis é igual a:

A) 20%
B) 50%
C) 75%
D) 80%

GABARITO: A) 20%
DÚVIDA: Com os dados, montei a seguinte expressão:

[latex]1x + 3y = 29 \rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{29}{3}[/latex]

Sendo x o número de lápis e y o número de canetas.

Feito isso, defini que y > x, conforme pede a questão:

[latex]y > x \rightarrow -\frac{1}{3}x + \frac{29}{3} > x \rightarrow x < \frac{29}{4}[/latex]

Sabendo que essa equação descreve uma função afim decrescente, de termo independente (29/3) e de raiz (29), os valores de x menores que (29/4) até zero correspondem ao valores de y maiores que (29/4) até (29/3). Ou seja, a condição que a questão impõe será satisfeita nesse intervalo de 0 < x < (29/4) e (29/4) < y < (29/3), lembrando que x é o número de lápis e y o número de canetas, logo, o número de lápis será menor que o número de canetas nesse intervalo.

Com isso, se a probabilidade de um evento favorável se constitui numa razão entre o número de elementos no conjunto do evento favorável sobre o número de elementos no conjunto de todos o eventos possíveis, logo pensei que a resposta seria:

[latex]p(e) = \frac{n(e)}{n(\Omega )} \rightarrow p(e) = \frac{\frac{29}{3}-\frac{29}{4}}{\frac{29}{3}}\rightarrow p(e)= \frac{\frac{29}{12}}{\frac{29}{3}} = \frac{3}{12}= \frac{1}{4} = 25%[/latex]

Ou seja, a probabilidade de o número de canetas ser maior que o número de lápis se dá através da razão entre o intervalo (29/4) < y < (29/3), de tamanho (29/12), sobre o intervalo 0 < y < (29/3), de tamanho (29/3), que corresponde a todos os valores que o número de canetas pode assumir conforme a reta.

Como vocês já devem suspeitar, não deu certo e não sei o motivo.

Espero que eu tenha conseguido explicar meu pensamento e que não tenha ficado muito confuso.

''Sabendo que essa equação descreve uma função afim decrescente, de termo independente (29/3) e de raiz (29), os valores de x menores que (29/4) até zero correspondem ao valores de y maiores que (29/4) até (29/3)" 


Não entendi esse corresponde aos valores de y maiores que 29/4, daonde saiu esse 29/4?

God'splan escreveu:

Lucas4lmeida escreveu:(UERJ, 2014) Considere uma compra de lápis e canetas no valor total de R$ 29,00. O preço de cada lápis é R$1,00 e o de cada caneta é R$3,00.
A probabilidade de que se tenha comprado mais canetas do que lápis é igual a:

A) 20%
B) 50%
C) 75%
D) 80%

GABARITO: A) 20%
DÚVIDA: Com os dados, montei a seguinte expressão:

[latex]1x + 3y = 29 \rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{29}{3}[/latex]

Sendo x o número de lápis e y o número de canetas.

Feito isso, defini que y > x, conforme pede a questão:

[latex]y > x \rightarrow -\frac{1}{3}x + \frac{29}{3} > x \rightarrow x < \frac{29}{4}[/latex]

Sabendo que essa equação descreve uma função afim decrescente, de termo independente (29/3) e de raiz (29), os valores de x menores que (29/4) até zero correspondem ao valores de y maiores que (29/4) até (29/3). Ou seja, a condição que a questão impõe será satisfeita nesse intervalo de 0 < x < (29/4) e (29/4) < y < (29/3), lembrando que x é o número de lápis e y o número de canetas, logo, o número de lápis será menor que o número de canetas nesse intervalo.

Com isso, se a probabilidade de um evento favorável se constitui numa razão entre o número de elementos no conjunto do evento favorável sobre o número de elementos no conjunto de todos o eventos possíveis, logo pensei que a resposta seria:

[latex]p(e) = \frac{n(e)}{n(\Omega )} \rightarrow p(e) = \frac{\frac{29}{3}-\frac{29}{4}}{\frac{29}{3}}\rightarrow p(e)= \frac{\frac{29}{12}}{\frac{29}{3}} = \frac{3}{12}= \frac{1}{4} = 25%[/latex]

Ou seja, a probabilidade de o número de canetas ser maior que o número de lápis se dá através da razão entre o intervalo (29/4) < y < (29/3), de tamanho (29/12), sobre o intervalo 0 < y < (29/3), de tamanho (29/3), que corresponde a todos os valores que o número de canetas pode assumir conforme a reta.

Como vocês já devem suspeitar, não deu certo e não sei o motivo.

Espero que eu tenha conseguido explicar meu pensamento e que não tenha ficado muito confuso.

''[size=30]Sabendo que essa equação descreve uma função afim decrescente, de termo independente (29/3) e de raiz (29), os valores de x menores que (29/4) até zero correspondem ao valores de y maiores que (29/4) até (29/3)" [/size]


[size=30]Não entendi esse corresponde aos valores de y maiores que 29/4, daonde saiu esse 29/4?[/size]

(29/4, 29/4) são as coordenadas onde os números de canetas e lápis se igualam. Como o problema pede um número de canetas maior do que de lápis, os valores interessantes são aqueles em que 0 < x < (29/4) e em que, consequentemente, (29/4) < y < (29/3). 

E, corrigindo meu erro, na probabilidade só interessam os números inteiros desses intervalos. Se eu não me equivoco, o que é interessante na verdade é o número de pontos coordenados na reta decrescente, e não os valores isolados que x e y podem assumir. Então, por exemplo, quando eu digo que o número de y é (29/3), isso não significa que existem (29/3) casos, mas sim um caso em que y assume o valor (29/3) e que, consequentemente, x assume o valor zero, entende? Claro, desconsiderando o que eu disse sobre valores inteiros, só para ilustrar o exemplo.

Não sei se me fiz entender.