Análise combinatória com canetas
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Análise combinatória com canetas
por victorjarvis26 Sáb 17 Jul 2021, 19:27
José comprou 16 canetas para dar, todas, aos seus 4 sobrinhos.
1. Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)?
2. Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba 4 canetas?
3. Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)?
4. Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba pelo menos 2 canetas?
1. Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)?
2. Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba 4 canetas?
3. Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)?
4. Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba pelo menos 2 canetas?
victorjarvis26- Iniciante
- Mensagens : 7
Data de inscrição : 17/07/2021
Re: Análise combinatória com canetas
por Mateus Meireles Dom 18 Jul 2021, 19:24
Olá, Victor!
1. Há 4 modos de distribuir cada caneta, pois há 4 sobrinhos disponíveis para recebê-las.
2. Acredito que a resposta seja (16!)/(4!4!4!4!)
Imagine que as canetas será organizadas em fila (16! modos) e as 4 primeiras canetas irão para o primeiro sobrinho, as 4 seguintes para o segundo.. etc
Mas é preciso, ainda, dividir o resultado por 4!4!4!4!, pois cada grupo de 4 canetas foi contabilizado 4! vezes, pois é possível, dentro de cada grupo de 4 canetas, organizá-las de de 4! modos (mudando as ordem dessas canetas), sendo que os grupos não são alterados (as 4 canetas são as mesmas, muda-se apenas a ordem de apresentação em cada grupo).
3.
4.
Os dois últimos itens envolvem a ideia de Permutação com Repetição. Deixarei o seguinte link e recomendo que vc dê uma olhada nos vídeo 28, 29 e 30: https://www.youtube.com/watch?v=LDXJMQ9aLgI&list=PL7RjLI0hJPfBfPGt0Lz3XX0C38Qsl8Hzz&ab_channel=PortaldaMatem%C3%A1ticaOBMEP
Abs.
1. Há 4 modos de distribuir cada caneta, pois há 4 sobrinhos disponíveis para recebê-las.
2. Acredito que a resposta seja (16!)/(4!4!4!4!)
Imagine que as canetas será organizadas em fila (16! modos) e as 4 primeiras canetas irão para o primeiro sobrinho, as 4 seguintes para o segundo.. etc
Mas é preciso, ainda, dividir o resultado por 4!4!4!4!, pois cada grupo de 4 canetas foi contabilizado 4! vezes, pois é possível, dentro de cada grupo de 4 canetas, organizá-las de de 4! modos (mudando as ordem dessas canetas), sendo que os grupos não são alterados (as 4 canetas são as mesmas, muda-se apenas a ordem de apresentação em cada grupo).
3.
4.
Os dois últimos itens envolvem a ideia de Permutação com Repetição. Deixarei o seguinte link e recomendo que vc dê uma olhada nos vídeo 28, 29 e 30: https://www.youtube.com/watch?v=LDXJMQ9aLgI&list=PL7RjLI0hJPfBfPGt0Lz3XX0C38Qsl8Hzz&ab_channel=PortaldaMatem%C3%A1ticaOBMEP
Abs.
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Mateus Meireles- Matador
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Re: Análise combinatória com canetas
por Joanina Qua 21 Jul 2021, 14:16
Não entendi essa solução, me parece estar incorreta, como por exemplo, na questão 1 há somente 4 formas de distribuir as canetas ?! Claro que não, pois, por exemplo ele pode dar todas as canetas só pra um sobrinho, dai já teríamos 4 possibilidades, mas e se ele dar 1,2,3 ou 4 pra cada, além disso há outras diversas possibilidades se distribuir essas canetas. Agora fiquei interessado nesta questão. Se alguém puder auxiliar seria uma boa.
Joanina- Iniciante
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Mateus Meireles gosta desta mensagem
Re: Análise combinatória com canetas
por Mateus Meireles Qui 22 Jul 2021, 11:51
Olá, Joanina.
De fato, está incorreta.
Por algum motivo o restante da minha resposta não apareceu (talvez eu tenha pensando e não digitei ou talvez eu tenha apagado parte da mensagem sem querer).
A resposta correta da primeira alternativa é a seguinte:
1- Há 4 modos de distribuir cada caneta, pois há 4 sobrinhos disponíveis para recebê-las. Como existem 16 canetas, e cada uma pode ir para 4 sobrinhos, a resposta é 4·4·4·4·...·4·4 = 416.
Obrigado,
Abs.
De fato, está incorreta.
Por algum motivo o restante da minha resposta não apareceu (talvez eu tenha pensando e não digitei ou talvez eu tenha apagado parte da mensagem sem querer).
A resposta correta da primeira alternativa é a seguinte:
1- Há 4 modos de distribuir cada caneta, pois há 4 sobrinhos disponíveis para recebê-las. Como existem 16 canetas, e cada uma pode ir para 4 sobrinhos, a resposta é 4·4·4·4·...·4·4 = 416.
Obrigado,
Abs.
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