Relação entre raios

Bizu:[latex]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/latex]
(Sugestão: Pitágoras)

Oi Giovana, boa noite  .
Pior que nesta eu trapaceei, mas não por querer, ví o vídeo do professor Possani hoje no almoço sobre a história dos Sangakus kkkkkkkkkk, creio que você tenha visto também, se não seria uma tremenda coincidência. Os vídeos dele são bons demais. Acabou que a dedução dele está fresquinha:
Quando temos duas circunferências tangentes entre si e a uma mesma reta, existe a seguinte propriedade(triângulo retângulo na imagem ao final):
[latex] (R_2 + R_3)^2=D^2 + (R_3 - R_2)^2\rightarrow R_2^2 + 2R_2R_3 + R_3^2=D^2+R_3^2-2R_2R_3+R_2^2 \\
\rightarrow D^2 = 4R_2R_3 \therefore D = 2\sqrt{R_2R_3} [/latex]
Utilizando este resultado,  e chamando os raios de R1, R2 e R3, podemos aplicar nas circunferências 1 e 2, 2 e 3, e por fim em 1 e 3:
[latex] d_1 + d_2 = d_3\rightarrow 2\sqrt{R_1R_2} + 2\sqrt{R_2R_3} = 2\sqrt{R_1R_3}  \\
\sqrt{R_1R_2} + \sqrt{R_2R_3} = \sqrt{R_1R_3}  [/latex]

Dividindo tudo por √(R1R2R3) para chegar no formato pedido no Sangaku:
[latex] \frac{1}{\sqrt{R_3}}+\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}} [/latex]